Що таке арксинус, арккосинус? Що таке арктангенс, арккотангенс?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

До понять арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учень народ ставиться з побоюванням. Не розуміє він ці терміни і, отже, не довіряє цій славній родині. А даремно. Це дуже прості поняття. Які, між іншим, колосально полегшують життя знаючому людині під час вирішення тригонометричних рівнянь!

Сумніваєтесь щодо простоти? Даремно.) Прямо тут і зараз ви в цьому переконаєтесь.

Зрозуміло, для розуміння, непогано знати, що таке синус, косинус, тангенс і котангенс. Та їх табличні значення для деяких кутів... Хоча б у найзагальніших рисах. Тоді й тут проблем не буде.

Отже, дивуємось, але запам'ятовуємо: арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс - це якісь кути.Не більше не менше. Буває кут, скажімо 30 °. А буває кут arcsin0,4. Або arctg(-1,3). Будь-які кути бувають.) Просто записати кути можна різними способами. Можна записати кут через градуси чи радіани. А можна - через його синус, косинус, тангенс та котангенс...

Що означає вираз

arcsin 0,4?

Це кут, синус якого дорівнює 0,4! Так Так. Це сенс арксинусу. Спеціально повторю: arcsin 0,4 – це кут, синус якого дорівнює 0,4.

І все.

Щоб ця проста думка збереглася в голові надовго, я навіть наведу розбивочку цього жахливого терміна – арксинус:

arc sin 0,4
кут, синус якого дорівнює 0,4

Як пишеться, так і чується.) Майже. префікс arcозначає дуга(слово арказнаєте?), т.к. древні люди замість кутів використовували дуги, але це справи не змінює. Запам'ятайте це елементарне розшифрування математичного терміна! Тим більше, для арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу розшифровка відрізняється лише назвою функції.

Що таке arccos 0,8?
Це кут, косинус якого дорівнює 0,8.

Що таке arctg(-1,3)?
Це кут, тангенс якого дорівнює -1,3.

Що таке arcctg 12?
Це кут, котангенс якого дорівнює 12.

Таке елементарне розшифрування дозволяє, до речі, уникнути епічних ляпів.) Наприклад, вираз arccos1,8 виглядає цілком солідно. Починаємо розшифровку: arccos1,8 - це кут, косинус якого дорівнює 1,8 ... Скока-скока!? 1,8!? Косинус не буває більше одиниці!

Правильно. Вираз arccos1,8 немає сенсу. І запис такого виразу в якусь відповідь добряче повеселить перевіряючого.

Елементарно, як бачите.) Кожен кут має свій персональний синус і косинус. І майже у кожного - свій тангенс та котангенс. Отже, знаючи тригонометричну функцію, можна записати і сам кут. Для цього і призначені арксинуси, арккосинуси, арктангенси та арккотангенси. Далі я всю цю сімейку називатиму зменшувально - арки.Щоб друкувати менше.)

Увага! Елементарна словесна та усвідомленарозшифровка арків дозволяє спокійно і впевнено вирішувати різні завдання. А в незвичнихзавданнях тільки вона і рятує.

А можна переходити від арків до звичайних градусів чи радіанів?- чую обережне запитання.)

Чому ні!? Легко. І туди можна і назад. Понад те, це іноді потрібно обов'язково робити. Арки - штука проста, але без них спокійніше, правда?)

Наприклад: що таке arcsin 0,5?

Згадуємо розшифровку: arcsin 0,5 - це кут, синус якого дорівнює 0,5.Тепер включаємо голову (або гугл) і згадуємо, у якого кута синус дорівнює 0,5? Синус дорівнює 0,5 у кута в 30 градусів. Ось і всі справи: arcsin 0,5 - це кут 30 °.Можна сміливо записати:

arcsin 0,5 = 30 °

Або, більш солідно, через радіани:

Все можна забути про арксинус і працювати далі зі звичними градусами або радіанами.

Якщо ви усвідомили, що таке арксинус, арккосинус... Що таке арктангенс, арккотангенс...То легко розберетеся, наприклад, з таким монстром.

Необізнана людина відсахнеться в жаху, так...) А обізнана згадає розшифровку:арксинус - це кут, синус якого... Ну і таке інше. Якщо обізнана людина знає ще й таблицю синусів... Таблицю косінусів. Таблицю тангенсів та котангенсів, то проблем взагалі немає!

Досить збагнути, що:

Розшифрую, тобто. переведу формулу до слів: кут, тангенс якого дорівнює 1 (arctg1)- Це кут 45 °. Або що єдине, Пі/4. Аналогічно:

і все... Замінюємо всі арки на значення в радіанах, все скорочується, залишиться порахувати, скільки буде 1+1. Це буде 2.) Що і є правильною відповіддю.

Ось таким чином можна (і потрібно) переходити від арксінусів, арккосінусів, арктангенсів і арккотангенсів до звичайних градусів і радіанів. Це чудово спрощує страшні приклади!

Часто, в подібних прикладах, усередині арків стоять негативнізначення. Типу arctg(-1,3), або, наприклад, arccos(-0,8)... Це не проблема. Ось вам прості формули переходу від негативних значень до позитивних:

Потрібно вам, скажімо, визначити значення виразу:

Це можна і по тригонометричному колі вирішити, але вам не хочеться малювати. Ну і добре. Переходимо від негативногозначення всередині арккосинусу до позитивномуза другою формулою:

Всередині арккосинусу справа вже позитивнезначення. Те, що

ви просто повинні знати. Залишається підставити радіани замість арккосинусу і порахувати відповідь:

От і все.

Обмеження на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

З прикладами 7 – 9 проблема? Так, є там деяка хитрість.)

Всі ці приклади, з 1-го по 9-й, ретельно розібрані по поличках у Розділі 555. Що, як і чому? З усіма таємними пастками та каверзами. Плюс способи різкого спрощення рішення. До речі, у цьому розділі багато корисної інформації та практичних порад щодо тригонометрії загалом. І не лише з тригонометрії. Дуже допомагає.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Функції sin, cos, tg і ctg завжди супроводжуються арксинусом, арккосинусом, арктангенсом та арккотангенсом. Одне є наслідком іншого, а пари функцій однаково важливі до роботи з тригонометричними висловлюваннями.

Розглянемо малюнок одиничного кола, у якому графічно відображено значень тригонометричних функцій.

Якщо обчислити arcs OA, arcos OC, arctg DE і arcctg MK, всі вони дорівнюють значенню кута α. Формули, наведені нижче, відображають взаємозв'язок основних тригонометричних функцій та відповідних їм арків.

Щоб більше зрозуміти властивості арксинусу, необхідно розглянути його функцію. Графік має вигляд асиметричної кривої, що проходить через центр координат.

Властивості арксинусу:

Якщо порівняти графіки sinі arcsinУ двох тригонометричних функцій можна знайти загальні закономірності.

Арккосінус

Arccos числа а - це значення кута α, косинус якого дорівнює а.

Крива y = arcos xдзеркально відображає графік arcsin x, з тією різницею, що проходить через точку π/2 на осі OY.

Розглянемо функцію арккосинусу докладніше:

1. Функція визначена на відрізку [-1; 1].
2. ОДЗ для arccos -.
3. Графік цілком розташований у I та II чвертях, а сама функція не є ні парною, ні непарною.
4. Y = 0 за x = 1.
5. Крива зменшується на всій своїй протяжності. Деякі властивості арккосинусу збігаються з функцією косинуса.

Деякі властивості арккосинусу збігаються з функцією косинуса.

Можливо, школярам видасться зайвим таке «детальне» вивчення «арків». Проте, інакше, деякі елементарні типові завдання ЄДІ можуть запровадити учнів у глухий кут.

Завдання 1.Вкажіть функції, зображені на малюнку.

Відповідь:Рис. 1 - 4, рис.2 - 1.

У цьому прикладі акцент робиться на дрібницях. Зазвичай учні дуже неуважно ставляться до побудови графіків та зовнішнього вигляду функцій. Справді, навіщо запам'ятовувати вигляд кривої, якщо її можна побудувати за розрахунковими точками. Не слід забувати, що в умовах тесту час, витрачений на малюнок для простого завдання, потрібен для вирішення складніших завдань.

Арктангенс

Arctgчисла a – це значення кута α, що його тангенс дорівнює а.

Якщо розглянути графік арктангенсу, можна виділити такі характеристики:

1. Графік нескінченний та визначений на проміжку (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс непарна функція, отже, arctg (-x) = - arctg x.
3. Y = 0 за x = 0.
4. Крива зростає по всій області визначення.

Наведемо короткий порівняльний аналіз tg x та arctg x у вигляді таблиці.

Арккотангенс

Arcctg числа a — приймає таке значення з інтервалу (0; π), що його котангенс дорівнює а.

Властивості функції арккотангенсу:

1. Інтервал визначення функції – нескінченність.
2. Область допустимих значень – проміжок (0; π).
3. F(x) не є ні парною, ні непарною.
4. На всьому своєму протязі графік функції зменшується.

Зіставити ctg x і arctg x дуже просто, потрібно лише зробити два малюнки та описати поведінку кривих.

Завдання 2.Співвіднести графік та форму запису функції.

Якщо міркувати логічно, з графіків видно, що обидві функції зростають. Отже, обидва малюнки відображають певну функцію arctg. З властивостей арктангенса відомо, що y = 0 при x = 0,

Відповідь:Рис. 1 - 1, рис. 2 – 4.

Тригонометричні тотожності arcsin, arcos, arctg та arcctg

Раніше нами вже було виявлено взаємозв'язок між арками та основними функціями тригонометрії. Ця залежність може бути виражена рядом формул, що дозволяють виразити, наприклад, синус аргументу, через його арксинус, арккосинус або навпаки. Знання подібних тотожностей буває корисним під час вирішення конкретних прикладів.

Також існують співвідношення для arctg та arcctg:

Ще одна корисна пара формул, що встановлює значення для суми значень arcsin і arcos, а також arcctg і arcctg одного і того ж кута.

Приклади розв'язання задач

Завдання з тригонометрії можна умовно поділити на чотири групи: обчислити числове значення конкретного виразу, побудувати графік цієї функції, знайти її область визначення або ОДЗ та виконати аналітичні перетворення на вирішення прикладу.

При вирішенні першого типу завдань необхідно дотримуватись наступного плану дій:

Працюючи з графіками функцій головне – це знання їхніх властивостей та зовнішнього вигляду кривої. Для розв'язання тригонометричних рівнянь та нерівностей необхідні таблиці тотожностей. Що більше формул пам'ятає школяр, то простіше знайти відповідь завдання.

Допустимо в ЄДІ необхідно знайти відповідь для рівняння типу:

Якщо правильно перетворити вираз і привести до потрібного вигляду, вирішити його дуже просто і швидко. Для початку перенесемо arcsin x у праву частину рівності.

Якщо згадати формулу arcsin (sin α) = α, то можна звести пошук відповідей до вирішення системи із двох рівнянь:

Обмеження на модель x виникло, знов-таки з властивостей arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0 частина системи являє собою квадратне рівняння з корінням x1 = 1 і x2 = - 1/a. При a = 0, x дорівнюватиме 1.

У цій статті розглядаються питання знаходження значень арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу заданого числа. Для початку вводяться поняття арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу. Розглядаємо основні їх значення, за таблицями, зокрема і Брадіса, знаходження цих функцій.

Значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу

Необхідно розібратися в поняттях «значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу, арккотангенсу».

Визначення арксинусу, арккосинусу, арктангенса і арккотангенса числа допоможе розібратися в обчисленні заданих функцій. Значення тригонометричних функцій кута дорівнює числу a тоді автоматично вважається величиною цього кута. Якщо a – число, тоді це значення функції.

Для чіткого розуміння розглянемо приклад.

Якщо маємо арккосинус кута рівного π 3 то значення косинуса звідси дорівнює 1 2 по таблиці косінусів. Даний кут розташований у проміжку від нуля до пі, значить, значення арккосинусу 1 2 отримаємо π на 3 . Такий тригонометричний вираз записується як a r cos (12) = π3.

Завбільшки кута може бути як градус, так і радіан. Значення кута π 3 дорівнює куту в 60 градусів (детальніше розбирається у темі переведення градусів у радіани і назад). Цей приклад з арккосинусом 1 2 має значення 60 градусів. Такий тригонометричний запис має вигляд a r c cos 1 2 = 60 °

Основні значення arcsin, arccos, arctg та arctg

Завдяки таблиці синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів,ми маємо точні значення кута при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусів. Таблиця досить зручна і з неї можна отримувати деякі значення для аркфункцій, які мають назву як основні значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу.

Таблиця синусів основних кутів пропонує такі результати значень кутів:

sin (- π 2) = - 1 , sin (- π 3) = - 3 2 , sin (- π 4) = - 2 2 , sin (- π 6) = - 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Враховуючи їх, можна легко вирахувати арксинус числа всіх стандартних значень, починаючи від - 1 і закінчуючи 1, також значення від - π 2 до + π 2 радіанів, дотримуючись його основного значення визначення. Це є основними значеннями арксинусу.

Для зручного застосування значень арксинусу занесемо до таблиці. Згодом доведеться вивчити ці значення, оскільки практично доводиться часто до них звертатися. Нижче наведено таблицю арксинусу з радіанним та градусним значенням кутів.

Для отримання основних значень арккосинусу необхідно звернутися до таблиці косинусів основних кутів. Тоді маємо:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = - 1 2 , cos 3 π 4 = - 2 2 , cos 5 π 6 = - 3 2 , cos π = - 1

Виходячи з таблиці, знаходимо значення арккосинусу:

a r c cos (- 1) = π , arccos (- 3 2) = 5 π 6 , arcocos (- 2 2) = 3 π 4 , arccos - 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

Таблиця арккосинусов.

Таким же чином, виходячи з визначення та стандартних таблиць, знаходяться значення арктангенсу та арккотангенсу, які зображені в таблиці арктангенсів та арккотангенсів нижче.

a r c sin , a r c cos , a r c t g та a r c c t g

Для точного значення a r c sin , a r c cos , a r c t g і a r c c t g числа необхідно знати величину кута. Про це йдеться у попередньому пункті. Проте, точне значення функції нам невідоме. Якщо необхідно знайти числове наближене значення аркфункцій, застосовують таблицю синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів Брадіса.

Така таблиця дозволяє виконувати досить точні обчислення, оскільки значення надаються з чотирма знаками після коми. Завдяки цьому номеру виходять точними до хвилини. Значення a r c sin , a r c cos , a r c t g та a r c c t g негативних і позитивних чисел зводиться до знаходження формул a r c sin , a r c cos , a r c t g та a r c c t g протилежних чисел виду a r c sin (- ? - a r c cos α , a r c t g (- α) = - a r c t g α, a r c t g (- α) = π - a r c c t g α .

Розглянемо рішення знаходження значень a r c sin , a r c cos , a r c t g та a r c c t g за допомогою таблиці Брадіса.

Якщо нам необхідно знайти значення арксинусу 0, 2857, шукаємо значення, знайшовши таблицю синусів. Бачимо, що даному числу відповідає значення кута sin 16 градусів та 36 хвилин. Значить, арксинус числа 0, 2857 - це кут, що шукається, в 16 градусів і 36 хвилин. Розглянемо малюнку нижче.

Правіше за градуси є стовпці звані поправки. При шуканому арксинусі 0,2863 використовується та сама поправка в 0,0006, так як найближчим числом буде 0,2857. Отже, отримаємо синус 16 градусів 38 хвилин і 2 хвилини завдяки поправці. Розглянемо малюнок із зображенням таблиці Брадіса.

Бувають ситуації, коли шуканого числа немає в таблиці і навіть з поправками його не визначити, тоді знаходиться два найближчі значення синусів. Якщо число 0,2861573, то числа 0,2860 і 0,2863 є найближчими його значеннями. Цим числам відповідають значення синуса 16 градусів 37 хвилин та 16 градусів та 38 хвилин. Тоді наближене значення цього числа можна визначити з точністю до хвилини.

Таким чином, знаходяться значення a r c sin , a r c cos , a r c t g і a r c c t g .

Щоб знайти арксинус через відомий арккосинус даного числа, потрібно застосувати тригонометричні формули a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α = π 2 (необхідно переглянути тему формул сумыарккосинусу та арксинусу, суми арктангенсу та арккотангенсу).

При відомому a r c sin α = - π 12 необхідно знайти значення a r c cos α тоді необхідно обчислити арккосинус за формулою:

a r c cos α = π 2 − a rc sin α = π 2 − (− π 12) = 7 π 12 .

Якщо необхідно знайти значення арктангенса або арккотангенса числа a за допомогою відомого арксинусу або арккосинусу, необхідно проводити довгі обчислення, оскільки стандартних формул немає. Розглянемо з прикладу.

Якщо дано арккосинус числа а дорівнює 10 , а обчислити арктангенс даного числа допоможе таблиця тангенсів. Кут π 10 радіан є 18 градусів, тоді по таблиці косінусів бачимо, що косинус 18 градусів має значення 0 , 9511 , після чого зазираємо в таблицю Брадіса.

При пошуку значення арктангенса 0 9511 визначаємо, що значення кута має 43 градуси і 34 хвилини. Розглянемо за таблицею нижче.

Фактично таблиця Брадіса допомагає в знаходженні необхідного значення кута і при значенні кута дозволяє визначити кількість градусів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Ця стаття про знаходження значень арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсуцього числа. Спочатку ми внесемо ясність, що називається значенням арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу. Далі отримаємо основні значення цих аркфункцій, після чого розберемося, як знаходяться значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу за таблицями синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів Брадіса. Нарешті, поговоримо про знаходження арксинусу числа, коли відомий арккосинус, арктангенс або арккотангенс цього числа і т.п.

Навігація на сторінці.

Значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу

Спочатку варто розібратися, що взагалі таке значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу».

Таблиці синусів та косінусів, а також тангенсів та котангенсів Брадіса дозволяють знайти значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу позитивного числа в градусах з точністю до однієї хвилини. Тут слід зазначити, що знаходження значень арксинусу, арккосинусу, арктангенсу і арккотангенсу негативних чисел можна звести до знаходження значень відповідних аркфункцій позитивних чисел, звернувшись до формул arcsin, arccos, arctg і arcctg протилежних чисел (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a та arcctg(−a)=π−arcctg a .

Розберемося зі знаходженням значень арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу за таблицями Брадіса. Робитимемо це на прикладах.

Нехай нам потрібно знайти значення арксинусу 0,2857. Знаходимо це значення у таблиці синусів (випадки, коли це значення відсутня у таблиці, розберемо нижче). Йому відповідає синус 16 градусів 36 хвилин. Отже, шуканим значенням арксинусу числа 0,2857 є кут 16 36 хвилин.

Часто доводиться враховувати і виправлення з трьох праворуч стовпців таблиці. Наприклад, якщо нам потрібно знайти арксинус 0,2863. По таблиці синусів це значення виходить як 0,2857 плюс поправка 0,0006, тобто, значення 0,2863 відповідає синус 16 градусів 38 хвилин (16 градусів 36 хвилин плюс 2 хвилини поправки).

Якщо ж число, арксинус якого нас цікавить, відсутня в таблиці і навіть не може бути отримано з урахуванням поправок, то в таблиці необхідно знайти два найближчих до нього значення синусів, між якими це число укладено. Наприклад, ми шукаємо значення арксинусу числа 0,2861573. Цього числа немає в таблиці, за допомогою поправок це число також не отримати. Тоді знаходимо два найбільш близькі значення 0,2860 і 0,2863, між якими вихідне число укладено, цим числам відповідають синуси 16 градусів 37 хвилин і 16 градусів 38 хвилин. Шукане значення арксинусу 0,2861573 укладено між ними, тобто, будь-яке з цих значень кута можна прийняти як наближене значення арксинусу з точністю до 1 хвилини.

Абсолютно аналогічно знаходяться значення арккосинусу, і значення арктангенса і значення арккотангенса (при цьому, звичайно, використовуються таблиці косінусів, тангенсів і котангенсів відповідно).

Знаходження значення arcsin через arccos, arctg, arcctg тощо.

Наприклад, нехай нам відомо, що arcsin a=−π/12 а потрібно знайти значення arccos a . Обчислюємо потрібне значення арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Набагато цікавіше справа, коли за відомим значенням арксинусу або арккосинусу числа a потрібно знайти значення арктангенса або арккотангенса цього числа a або навпаки. Формул, які задають такі зв'язки, ми, на жаль, не знаємо. Як же бути? Розберемося з цим на прикладі.

Нехай нам відомо, що арккосинус числа a дорівнює π/10 і потрібно обчислити значення арктангенса цього числа a . Вирішити поставлене завдання можна так: за відомим значенням арккосинусу знайти число a після чого знайти арктангенс цього числа. Для цього нам спочатку знадобиться таблиця косінусів, а потім – таблиця тангенсів.

Кут π/10 радіан – це кут 18 градусів, по таблиці косінусів знаходимо, що косинус 18 градусів приблизно дорівнює 0,9511 , тоді число a у прикладі є 0,9511 .

Залишилося звернутися до таблиці тангенсів, і з її допомогою знайти потрібне нам значення арктангенса 0,9511, воно приблизно дорівнює 43 градусів 34 хвилин.

Цю тему логічно продовжує матеріал статті обчислення значень виразів, що містять arcsin, arccos, arctg та arcctg.

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. З. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 з.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• І. У. Бойков, Л. Д. Романова. Збірник задач для підготовки до ЄДІ, частина 1, Пенза 2003.
• Брадіс В. М.Чотиризначні математичні таблиці: Для загальноосвіт. навч. закладів. - 2-ге вид. - М: Дрофа, 1999. - 96 с.: іл. ISBN 5-7107-2667-2

Урок та презентація на тему: "Арктангенс. Арккотангенс. Таблиці арктангенсу та арккотангенсу"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" від компанії 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі

Що вивчатимемо:
1. Що таке Арктангенс?
2. Визначення арктангенсу.
3. Що таке арккотангенс?
4. Визначення аркотангенсу.
5. Таблиці значень.
6. Приклади.

Що таке Арктангенс?

Діти, ми з вами вже навчилися вирішувати рівняння для косинуса та синуса. Тепер давайте навчимося вирішувати подібні рівняння для тангенсу та котангенсу. Розглянемо рівняння tg(x)= 1. Аби вирішити цього рівняння побудуємо два графіка: y= 1 і y= tg(x). Графіки наших функцій мають безліч точок перетину. Абсциси цих точок мають вигляд: x= x1 + πk, x1 – абсцис точки перетину прямої y= 1 і головної гілки функції y= tg(x), (-π/2 <x1> π/2). Для числа x1 було введено позначення як арктангенс. Тоді розв'язок нашого рівняння запишеться: x= arctg(1) + πk.

Визначення арктангенсу

arctg(a) – це таке число із відрізка [-π/2; π/2], тангенс якого дорівнює а.

Рівняння tg(x)= a має розв'язок: x= arctg(a) + πk, де k - ціле число.

Також зауважимо: arctg(-a)= -arctg(a).

Що таке аркотангенс?

Давайте розв'яжемо рівняння сtg(x)= 1. Для цього побудуємо два графіки: y= 1 і y=сtg(x). Графіки наших функцій мають безліч точок перетину. Абсциси цих точок мають вигляд: x = x1 + πk. x1 – абсцис точки перетину прямої y= 1 і головної гілки функції y= сtg(x), (0 <x1> π).
Для числа x1 було введено позначення як арккотангенс. Тоді розв'язок нашого рівняння запишеться: x= arcсtg(1) + πk.

Визначення арккотангенсу

arсctg(a) - це таке число з відрізка, котангенс якого дорівнює а.

Рівняння ctg(x)= a має розв'язок: x= arcctg(a) + πk, де k - ціле число.

Також зауважимо: arcctg(-a)= π - arcctg(a).

Таблиці значень арктангенсу та арккотангенсу

Таблиця значень тангенсу та котангенсу

Таблиця значень арктангенсу та арккотангенсу

Приклади

1. Обчислити: arctg(-√3/3).
Рішення: Нехай arctg(-√3/3)= x, тоді tg(x)= -√3/3. За визначенням –π/2 ≤x≤ π/2. Подивимося значення тангенсу у таблиці: x=-π/6, т.к. tg(-π/6)= -√3/3 і – π/2 ≤ -π/6 ≤ π/2.
Відповідь: arctg(-√3/3)= -π/6.

2. Обчислити: arctg(1).
Рішення: Нехай arctg(1)= x, тоді tg(x)= 1. За визначенням –π/2 ≤ x ≤ π/2. Подивимося значення тангенсу у таблиці: x= π/4, т.к. tg(π/4)= 1 і – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2.
Відповідь: arctg(1)= π/4.

3. Обчислити: arcctg(√3/3).
Рішення: Нехай arcctg(√3/3)= x, тоді ctg(x)= √3/3. За визначенням 0 ≤ x ≤ π. Подивимося значення котангенсу у таблиці: x= π/3, т.к. ctg(π/3)= √3/3 та 0 ≤ π/3 ≤ π.
Відповідь: arcctg(√3/3) = π/3.

4. Обчислити: arcctg(0).
Рішення: Нехай arcctg(0)= x, тоді ctg(x) = 0. За визначенням 0 ≤ x ≤ π. Подивимося значення котангенсу у таблиці: x= π/2, т.к. ctg(π/2)= 0 і 0 ≤ π/2 ≤ π.
Відповідь: arcctg(0) = π/2.

5. Розв'язати рівняння: tg(x)= -√3/3.
Рішення: Скористаємося визначенням та отримаємо: x= arctg(-√3/3) + πk. Скористаємося формулою arctg(-a)= -arctg(a): arctg(-√3/3)= – arctg(√3/3)= – π/6; тоді x = - π / 6 + πk.
Відповідь: x = = - π / 6 + πk.

6. Розв'язати рівняння: tg(x)=0.
Рішення: Скористаємося визначенням та отримаємо: x= arctg(0) + πk. arctg(0)= 0, підставимо формулу рішення: x= 0 + πk.
Відповідь: x = πk.

7. Розв'язати рівняння: tg(x) = 1.5.
Рішення: Скористаємося визначенням та отримаємо: x= arctg(1.5) + πk. Значення арктангенса для цього значення в таблиці немає, тоді залишимо відповідь у такому вигляді.
Відповідь: x= arctg(1.5) + πk.

8. Розв'язати рівняння: ctg(x)= -√3/3.
Рішення: Скористайтеся формулою: ctg(x)= 1/tg(x); ctg(x)= -√3/3 =1/tg(x) => tg(x)= -√3. Скористаємося визначенням та отримаємо: x= arctg (-√3) + πk. arctg(-√3)= –arctg(√3)= –π/3, тоді x=-π/3 + πk.
Відповідь: x = - π / 3 + πk.

9. Розв'язати рівняння: ctg(x)=0.
Рішення: Скористайтеся формулою: ctg(x)= cos(x)/sin(x). Тоді нам треба знайти значення x, за яких cos(x)= 0, отримуємо, що х= π/2+ πk.
Відповідь: х = π / 2 + πk.

10. Вирішити рівняння: ctg (x) = 2.
Рішення: Скористаємося визначенням та отримаємо: x= arcсtg(2) + πk. Значення арккотангенса для цього значення в таблиці немає, тоді залишимо відповідь у такому вигляді. Відповідь: x= arctg(2) + πk.

Завдання для самостійного вирішення

1) Обчислити: а) arctg(√3), б) arctg(-1), в) arcctg(-√3), г) arcctg(-1).
2) Розв'язати рівняння: а) tg(x)= -√3, б) tg(x)= 1, в) tg(x)= 2.5, г) ctg(x)= √3, д) ctg(x) = 1.85.