Знайдемо довжину вектора за його координатами (у прямокутній системі координат), за координатами точок початку та кінця вектора та за теоремою косінусів (задано 2 вектори та кут між ними).

Вектор - Це спрямований відрізок прямої.Довжина цього відрізка визначає числове значення вектора та називаєтьсядовжина вектора або вектор модуля.

1. Обчислення довжини вектора за його координатами

Якщо дані координати вектора плоскої (двовимірної) прямокутної системі координат, тобто. відомі a x і a y , то довжину вектора можна знайти за формулою

У випадку вектора у просторі додається третя координата

У MS EXCEL вираз =КОРІНЬ(СУММКВ(B8:B9))дозволяє обчислити модуль вектора (передбачається, що координатори вектора введені в комірки B8:B9, див. файл прикладу).

Функція СУММКВ() повертає суму квадратів аргументів, тобто. у разі еквівалентна формулі =B8*B8+B9*B9 .

У прикладному файлі також обчислена довжина вектора в просторі.

Альтернативною формулою є вираз =КОРІНЬ(СУМПРОВИЗВ(B8:B9;B8:B9)).

2. Знаходження довжини вектора через координати точок

Якщо вектор заданий через координати точок його початку та кінця, то формула буде іншою =КОРІНЬ(СУМКВРАЗН(C28:C29;B28:B29))

У формулі передбачається, що координати точок початку та кінця введені в діапазони C28: C29 і B28: B29 відповідно.

Функція СУММКВРАЗН() взаощаджує суму квадратів різниць відповідних значень у двох масивах.

Власне, у формулі спочатку обчислюються координати вектора (різниці відповідних координат точок), потім обчислюється сума їх квадратів.

3. Знаходження довжини вектора за теоремою косінусів

Якщо потрібно знайти довжину вектора за теоремою косінусів, то зазвичай задані 2 вектори (їх модулі та кут між ними).

Знайдемо довжину вектора за допомогою формули =КОРІНЬ(СУММКВ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

У осередках B43: B43 містяться довжини векторів а і b, а в осередку В45 - Кут між ними в радіанах (у частках числа ПІ()).

Якщо кут заданий у градусах, то формула трохи відрізнятиметься. =КОРІНЬ(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*ПІ()/180))

Примітка: для наочності в осередку зі значенням кута в градусах можна застосувати , див.

модуль вектора- Величина вектора - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНИИС, 2003.] Тематики інформаційні технології загалом Синоніми величина вектора EN absolute value of a vector …

модуль вектора- Vektoriaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. absolute value of vector vok. Vektorbetrag, m rus. довжина вектора; модуль вектор, m pranc. module d’un vecteur, m … Fizikos terminų žodynas

– (від лат. modulus «маленька міра»): У Вікісловарі є стаття «модуль» Мо … Вікіпедія

Модуль (від лат. modulus «маленька міра») складова частина, відокремлена або хоча б подумки виділяється із загального. Модульною зазвичай називають річ, що складається з чітко виражених частин, які нерідко можна прибирати або додавати, не руйнуючи річ.

Абсолютна величина чи модуль речового чи комплексного числа x є відстань від x до початку координат. Більш точно: Абсолютна величина речовинного числа x є невід'ємним числом, що позначається | і визначається наступним чином: … … Вікіпедія

модуль хвильового вектора- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технології загалом EN magnitude of propagation vector … Довідник технічного перекладача

модуль конвольвера кодового вектора огинаючої- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНИИС, 2003.] Тематики інформаційні технології загалом EN shape codevector convolution module … Довідник технічного перекладача

Модулем комплексного числа називається довжина вектора, що відповідає цьому числу: . Модуль комплексного числа z зазвичай позначається | z | або r. Нехай і речові числа такі, що комплексне число (звичайні позначення). Тоді Числа ... Вікіпедія

Модуль у математиці, 1) М. (або абсолютна величина) комплексного числа z = х + iy є число ═(корінь береться зі знаком плюс). При поданні комплексного числа z у тригонометричній формі z = r(cos j + i sin j) дійсне число r дорівнює… Велика Радянська Енциклопедія

Абелева група з кільцем операторів. М. є узагальненням (лінійного) векторного простору над полем К для випадку, коли Кзаміняється деяким кільцем. Нехай задано кільце А. Адитивна абелева група МНАЗ. лівим А модулем, якщо визначено… Математична енциклопедія

Нарешті у мене дісталися руки до великої та довгоочікуваної теми. аналітичної геометрії. Спочатку трохи про цей розділ вищої математики. Напевно, вам зараз згадався курс шкільної геометрії з численними теоремами, їх доказами, кресленнями тощо. Що приховувати, зненавиджений і часто малозрозумілий предмет для значної частки учнів. Аналітична геометрія, як не дивно, може здатися більш цікавою та доступною. Що означає прикметник «аналітична»? На думку відразу приходять два штамповані математичні обороти: «графічний метод рішення» та «аналітичний метод рішення». Графічний метод, Зрозуміло, пов'язані з побудовою графіків, креслень. Аналітичнийж методпередбачає вирішення завдань переважноза допомогою алгебраїчних процесів. У зв'язку з цим алгоритм розв'язання практично всіх завдань аналітичної геометрії простий і прозорий, часто досить акуратно застосувати потрібні формули – і відповідь готова! Ні, звичайно, зовсім без креслень тут не обійдеться, до того ж для кращого розуміння матеріалу я намагатимусь наводити їх понад необхідність.

Відкривається курс уроків з геометрії не претендує на теоретичну повноту, він орієнтований вирішення практичних завдань. Я включу у свої лекції тільки те, що, на мій погляд, є важливим у практичному плані. Якщо вам потрібна повна довідка по якомусь підрозділу, рекомендую наступну цілком доступну літературу:

1) Річ, з якою, без жартів, знайоме кілька поколінь: Шкільний підручник з геометрії, автори – Л.С. Атанасян та Компанія. Ця вішалка шкільної роздягальні вже витримала 20 (!) перевидань, що, звичайно, не є межею.

2) Геометрія у 2 томах. Автори Л.С. Атанасян, Базильов В.Т. Це література для вищої школи, вам знадобиться перший том. З мого поля зору можуть випадати завдання, що рідко зустрічаються, і навчальний посібник надасть неоціненну допомогу.

Обидві книги можна завантажити безкоштовно в Інтернеті. Крім того, можете використовувати мій архів із готовими рішеннями, який можна знайти на сторінці Завантажити приклади з вищої математики.

З інструментальних засобів пропоную знову ж таки власну розробку – програмний комплексз аналітичної геометрії, який значно спростить життя та заощадить масу часу.

Передбачається, що читач знайомий з базовими геометричними поняттями та фігурами: точка, пряма, площина, трикутник, паралелограм, паралелепіпед, куб тощо. Бажано пам'ятати деякі теореми, хоча б теорему Піфагора, привіт другорічникам)

Нині ж ми послідовно розглянемо: поняття вектора, дії з векторами, координати вектора. Далі рекомендую прочитати найважливішу статтю Скалярне твір векторів, а також і Векторний та змішаний твір векторів. Не зайвою буде і локальна задача - Поділ відрізка в цьому відношенні. На основі вищезгаданої інформації можна освоїти рівняння прямої на площиніз найпростішими прикладами рішень, що дозволить навчитися вирішувати завдання з геометрії. Також корисні такі статті: Рівняння площини у просторі, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину, інші розділи аналітичної геометрії. Природно, принагідно розглядатимуть типові завдання.

Концепція вектор. Вільний вектор

Спочатку повторимо шкільне визначення вектора. Векторназивається спрямованийвідрізок, для якого зазначено його початок та кінець:

У разі початком відрізка є точка , кінцем відрізка – точка . Сам вектор позначений через . Напрямокмає важливе значення, якщо переставити стрілку в інший кінець відрізка, то вийде вектор , і це вже зовсім інший вектор. Поняття вектора зручно ототожнювати з рухом фізичного тіла: погодьтеся, зайти у двері інституту або вийти з дверей інституту – це різні речі.

Окремі точки площини, простору зручно вважати так званим нульовим вектором. У такого вектора кінець і початок збігаються.

!!! Примітка: Тут і далі можете вважати, що вектори лежать в одній площині або вважати, що вони розташовані в просторі - суть матеріалу, що викладається, справедлива і для площини і для простору.

Позначення:Багато хто відразу звернув увагу на паличку без стрілочки в позначенні і сказав, там же зверху ще стрілку ставлять! Правильно, можна записати зі стрілкою: , але допустима і запис , який я використовуватиму надалі. Чому? Мабуть, така звичка склалася з практичних міркувань, надто різнокаліберними та волохатими виходили мої стрілки у школі та ВНЗ. У навчальній літературі іноді взагалі не заморочуються клинописом, а виділяють букви жирним шрифтом: , маючи на увазі тим, що це вектор.

То була стилістика, а зараз про способи запису векторів:

1) Вектори можна записати двома великими латинськими літерами:
і так далі. При цьому перша літера обов'язковопозначає точку-початок вектора, а друга літера - точку-кінець вектора.

2) Вектори також записують маленькими латинськими літерами:
Зокрема, наш вектор можна для стислості перепозначити маленькою латинською літерою.

Довжиноюабо модулемненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина нульового вектора дорівнює нулю. Логічно.

Довжина вектора позначається знаком модуля:

Як знаходити довжину вектора ми дізнаємось (або повторимо, для кого як) трохи пізніше.

То були елементарні відомості про вектор, знайомі всім школярам. В аналітичній геометрії розглядається так званий вільний вектор.

Якщо дуже просто – вектор можна відкласти від будь-якої точки:

Такі вектори ми звикли називати рівними (визначення рівних векторів буде дано нижче), але чисто з математичної точки зору це ОДИН І ТОЙ Ж ВЕКТОР або вільний вектор. Чому вільний? Тому що в ході вирішення завдань ви можете «прилаштувати» той чи інший «шкільний» вектор у БУДЬ-ЯКУ, потрібну вам точку площини або простору. Це дуже крута властивість! Уявіть спрямований відрізок довільної довжини та напрямки – його можна «клонувати» нескінченну кількість разів і в будь-якій точці простору, по суті, він існує СКРІЗЬ. Є така студентська приказка: Кожному лектору в ж**у по вектору. Адже не просто дотепна рима, все майже коректно - спрямований відрізок можна прилаштувати туди. Але не поспішайте радіти, частіше страждають самі студенти.

Отже, вільний вектор– це безліч однакових спрямованих відрізків. Шкільне визначення вектора, дане на початку параграфа: "Вектором називається спрямований відрізок ...", має на увазі конкретнийспрямований відрізок, взятий з цієї множини, який прив'язаний до певної точки площини або простору.

Слід зазначити, що з погляду фізики поняття вільного вектора у випадку некоректно, і точка докладання має значення. Справді, прямий удар однакової сили по носу чи по лобі вистачить розвивати мій безглуздий приклад спричиняє різні наслідки. Втім, невільнівектори зустрічаються і в курсі вышмата (не ходіть туди:)).

Події з векторами. Колінеарність векторів

У шкільному курсі геометрії розглядається ряд дій та правил із векторами: додавання за правилом трикутника, додавання за правилом паралелограма, правило різниці векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів та ін.Для затравки повторимо два правила, які особливо актуальні на вирішення завдань аналітичної геометрії.

Правило складання векторів за правилом трикутників

Розглянемо два довільні ненульові вектори і :

Потрібно знайти суму даних векторів. Через те, що всі вектори вважаються вільними, відкладемо вектор від кінцявектора:

Сумою векторів і є вектор. Для кращого розуміння правила в нього доцільно вкласти фізичний сенс: нехай деяке тіло зробило шлях вектором, а потім вектором. Тоді сума векторів є вектором результуючого шляху з початком у точці відправлення і кінцем у точці прибуття. Аналогічне правило формулюється для будь-якої кількості векторів. Як кажуть, тіло може пройти свій шлях сильно підданим по зигзагу, а може і на автопілоті - по результуючому вектору суми.

До речі, якщо вектор відкласти початкувектора , то вийде еквівалентне правило паралелограмаскладання векторів.

Спочатку про колінеарність векторів. Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, йдеться про паралельні вектори. Але стосовно них завжди використовують прикметник «колінеарні».

Уявіть два колінеарні вектори. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в однаковому напрямку, такі вектори називаються сонаправленими. Якщо стрілки дивляться в різні боки, вектори будуть протилежно спрямовані.

Позначення:колінеарність векторів записують звичним значком паралельності: при цьому можлива деталізація: (вектори сонаправлены) або (вектори спрямовані протилежно).

Творомненульового вектора на число є такий вектор, довжина якого дорівнює, причому вектори і сонаправлены і протилежно спрямовані при .

Правило множення вектора на число легко зрозуміти за допомогою малюнка:

Розбираємось детальніше:

1) Напрямок. Якщо множник негативний, то вектор змінює напрямокна протилежне.

2) Довжина. Якщо множник укладено в межах або , то довжина вектора зменшується. Так, довжина вектора вдвічі менша за довжину вектора . Якщо множник за модулем більше одиниці, то довжина вектора збільшуєтьсяв раз.

3) Зверніть увагу, що всі вектори колінеарніпри цьому один вектор виражений через інший, наприклад, . Назад теж справедливоЯкщо один вектор можна виразити через інший, то такі вектори обов'язково колінеарні. Таким чином: якщо ми множимо вектор на число, то вийде колінеарний(По відношенню до вихідного) вектор.

4) Вектори спрямовані. Вектори також співспрямовані. Будь-який вектор першої групи протилежно спрямований до будь-якого вектора другої групи.

Які вектори є рівними?

Два вектори рівні, якщо вони спрямовані і мають однакову довжину. Зауважте, що сонаправленность передбачає колінеарність векторів. Визначення буде неточним (надлишковим), якщо сказати: «Два вектори рівні, якщо вони колінеарні, сонаправлені і мають однакову довжину».

З погляду поняття вільного вектора, рівні вектори – це той самий вектор, що вже йшлося у попередньому параграфі.

Координати вектора на площині та у просторі

Першим пунктом розглянемо вектори на площині. Зобразимо декартову прямокутну систему координат і від початку координат відкладемо одиничнівектори та :

Вектори та ортогональні. Ортогональні = Перпендикулярні. Рекомендую потихеньку звикати до термінів: замість паралельності та перпендикулярності використовуємо відповідно слова колінеарністьі ортогональність.

Позначення:ортогональність векторів записують звичним значком перпендикулярності, наприклад: .

Вектори, що розглядаються, називають координатними векторамиабо ортами. Дані вектори утворюють базисна площині. Що таке базис, думаю, інтуїтивно багатьом зрозуміло, більш детальну інформацію можна знайти у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.Простими словами, базис і початок координат задають всю систему - це своєрідний фундамент, на якому кипить повне і насичене геометричне життя.

Іноді побудований базис називають ортонормованимбазисом площини: «орто» – оскільки координатні вектори ортогональні, прикметник «нормований» означає одиничний, тобто. Довжина векторів базису дорівнює одиниці.

Позначення:базис зазвичай записують у круглих дужках, усередині яких у суворій послідовностіперераховуються базисні вектори, наприклад: . Координатні вектори не можнапереставляти місцями.

Будь-якийвектор площині єдиним чиномвиражається у вигляді:
, де - числа, які називаються координатами векторау цьому базисі. А сам вираз називається розкладання векторапо базису .

Вечеря подана:

Почнемо з першої літери алфавіту: . По кресленню добре видно, що з розкладанні вектора по базису використовуються щойно розглянуті:
1) правило множення вектора на число: і;
2) складання векторів за правилом трикутника: .

А тепер подумки відкладіть вектор від будь-якої точки площини. Цілком очевидно, що його розкладання «невідступно слідуватиме за ним». Ось вона, свобода вектора - вектор "все носить при собі". Ця властивість, зрозуміло, справедлива будь-якого вектора. Смішно, що самі базисні (вільні) вектори не обов'язково відкладати від початку координат, один можна намалювати, наприклад, ліворуч унизу, а інший - праворуч вгорі, і від цього нічого не зміниться! Щоправда, робити так не потрібно, оскільки викладач теж виявить оригінальність і намалює вам зараховане в несподіваному місці.

Вектори , ілюструють в точності правило множення вектора на число, вектор направлений з базисним вектором , вектор спрямований протилежно до базисного вектора . У даних векторів одна з координат дорівнює нулю, прискіпливо можна записати так:


А базисні вектори, до речі, так: (по суті вони виражаються самі через себе).

І наприкінці: , . До речі, що таке віднімання векторів, і чому я не розповів про правило віднімання? Десь у лінійній алгебрі, вже не пам'ятаю де, я зазначав, що віднімання – це окремий випадок складання. Так, розкладання векторів «де» і «е» спокійнісінько записуються як суми: , . Прослідкуйте за кресленням, як чітко у цих ситуаціях працює старе добре складання векторів за правилом трикутника.

Розглянуте розкладання виду іноді називають розкладанням вектора у системі орт(Тобто в системі одиничних векторів). Але це не єдиний спосіб запису вектора, поширений наступний варіант:

Або зі знаком рівності:

Самі базисні вектори записуються так: і

Тобто, у круглих дужках зазначаються координати вектора. У практичних завданнях використовуються всі три варіанти запису.

Сумнівався, чи говорити, але все-таки скажу: координати векторів переставляти не можна. Суворо на першому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору , суворо на другому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору. Справді, і – це два різних вектори.

З координатами на площині розібралися. Тепер розглянемо вектори в тривимірному просторі, тут практично так само! Тільки додасться ще одна координата. Тривимірні креслення виконувати важко, тому обмежусь одним вектором, який для простоти відкладу від початку координат:

Будь-якийвектор тривимірного простору можна єдиним способомрозкласти по ортонормованому базису:
, де - Координати вектора (числа) в даному базисі.

Приклад з картинки: . Давайте подивимося, як тут працюють правила дій із векторами. По-перше, множення вектора на число: (червона стрілка), (зелена стрілка) та (малинова стрілка). По-друге, перед вами приклад складання кількох, у разі трьох, векторов: . Вектор суми починається у вихідній точці відправлення (початок вектора) і втикається у підсумкову точку прибуття (кінець вектора).

Всі вектори тривимірного простору, природно, теж вільні, спробуйте подумки відкласти вектор від будь-якої іншої точки, і ви зрозумієте, що його розкладання залишиться при ньому.

Аналогічно плоскому випадку, крім запису широко використовуються версії з дужками: або .

Якщо в розкладанні відсутній один (або два) координатні вектори, то замість них ставляться нулі. Приклади:
вектор (прискіпливо ) - запишемо;
вектор (прискіпливо ) - запишемо;
вектор (прискіпливо ) – запишемо.

Базисні вектори записуються так:

Ось, мабуть, і всі мінімальні теоретичні знання, необхідні вирішення завдань аналітичної геометрії. Можливо забагато термінів та визначень, тому чайникам рекомендую перечитати та осмислити цю інформацію ще раз. Та й будь-якому читачеві буде корисно іноді звертатися до базового уроку для кращого засвоєння матеріалу. Колінеарність, ортогональність, ортонормований базис, розкладання вектора – ці та інші поняття часто використовуватимуться надалі. Зазначу, що матеріалів сайту недостатньо для складання теоретичного заліку, колоквіуму з геометрії, тому що всі теореми (до того ж без доказів) я акуратно шифрую – на шкоду науковому стилю викладу, але плюс до вашого розуміння предмета. Для отримання докладної теоретичної довідки прошу слідувати на уклін до професора Атанасяна.

А ми переходимо до практичної частини:

Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Події з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ятьЦе дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарних прикладах базуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Викладення матеріалу піде паралельним курсом - і для площини, і для простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.

Як знайти вектор по двох точках?

Якщо дані дві точки площини і , то вектор має такі координати:

Якщо дані дві точки простору і , то вектор має такі координати:

Тобто, з координат кінця векторапотрібно відняти відповідні координати початку вектора.

Завдання:Для тих самих точок запишіть формули знаходження координат вектора. Формули наприкінці уроку.

Приклад 1

Дані дві точки площини та . Знайти координати вектора

Рішення:за відповідною формулою:

Як варіант, можна було використати наступний запис:

Естети вирішать і так:

Особисто я звик до першої версії запису.

Відповідь:

За умовою не потрібно будувати креслення (що характерно для завдань аналітичної геометрії), але з метою пояснення деяких моментів чайникам, не полінуся:

Обов'язково треба розуміти відмінність між координатами точок та координатами векторів:

Координати точок- Це звичайні координати у прямокутній системі координат. Відкладати крапки на координатній площині, гадаю, всі вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має строге місце на площині, і переміщати їх кудись не можна.

Координати ж вектора- Це його розкладання по базису, в даному випадку. Будь-який вектор є вільним, тому за бажання чи необхідності ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площини. Цікаво, що для векторів можна взагалі не будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, у цьому випадку ортонормований базис площини.

Записи координат точок і координат векторів начебто схожі: , а сенс координатабсолютно різнийі вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, зрозуміло, справедлива і для простору.

Пані та панове, набиваємо руку:

Приклад 2

а) Дані точки та . Знайти вектори та .
б) Дані точки та . Знайти вектори та .
в) Дані точки та . Знайти вектори та .
г) Дані точки. Знайти вектори .

Мабуть, достатньо. Це приклади для самостійного рішення, постарайтеся ними не ігнорувати, окупиться;-). Креслення робити не потрібно. Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Що важливо під час вирішення завдань аналітичної геометрії?Важливо бути гранично уважним, щоб не припуститися майстерної помилки «два плюс два одно нулю». Відразу вибачаюсь, якщо де помилився =)

Як знайти довжину відрізка?

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його будь-куди, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення у масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити клітини), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще кілька важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, що це, міліметри, сантиметри, метри або кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, який корисний не тільки для розглянутого завдання:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком вже точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить досить велика кількість, наприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити на дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невиймане націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань корені трапляються часто, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доробкою ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заодно повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями у загальному вигляді можна знайти у шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:

Приклад 4

Дані точки та . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Як знайти довжину вектора?

Якщо дано вектор площини, його довжина обчислюється за такою формулою.

Якщо дано вектор простору, то його довжина обчислюється за формулою .

Модуль вектораможна знайти, якщо ми знаємо його проекції на координатні осі.

на площині заданий вектор а(Рис. 15).

Опустимо з початку та кінця вектора перпендикуляри на координатні осі для знаходження його проекцій. Відповідно до теорії Піфагора

. Звідси

.

Цю формулу треба знати Напам'ять.

Запам'ятайте!

Щоб знайти модуль векторатреба витягти корінь квадратний із суми квадратів його проекцій.

Ви вже знаєте, що проекцію вектора на вісь можна знайти, якщо від координати точки кінця вектора відняти координату точки його початку. Тоді для нашого вектора якщо він заданий на площині, а x = х к − х н,
а y = y до - y н. Отже, модуль вектораможна знайти за формулою

.

Неважко збагнути, як виглядатиме формула, якщо векторзаданий у просторі.

Зверніть ще увагу на що. Адже модуль вектора- це довжина відрізка, укладеного між двома точками: точкою початку вектора та точкою його кінця. А це ні що інше, як відстань між двома цими точками. Тому, щоб знайти відстань між будь-якими двома точками, потрібно обчислити модуль вектора, що з'єднує ці точки.

Довжину вектора a → позначатимемо a → . Це позначення аналогічне модулю числа, тому довжину вектора також називають модулем вектора.

Для знаходження довжини вектора на площині за координатами, потрібно розглянути прямокутну декартову систему координат O x y . Нехай у ній заданий деякий вектор a → з координатами a x; a y. Введемо формулу для знаходження довжини (модуля) вектора a через координати a x і a y .

Від початку координат відкладемо вектор O A = a = . Визначимо відповідні проекції точки A на координатні осі як A x і A y. Тепер розглянемо прямокутник O A x A A y з діагоналлю O A.

З теореми Піфагора випливає рівність O A 2 = O A x 2 + O A y 2, звідки O A = O A x 2 + O A y 2 . З уже відомого визначення координат вектора в прямокутній декартовій системі координат отримуємо, що O A x 2 = a x 2 і O A y 2 = a y 2 , а за побудовою довжина O A дорівнює довжині вектора O A → , отже, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Звідси виходить, що формула для знаходження довжини вектора a → = a x; a y має відповідний вигляд: a → = a x 2 + a y 2 .

Якщо вектор a → дано у вигляді розкладання по координатним векторам a → = a x · i → + a y · j → , то обчислити його довжину можна за тією самою формулою a → = a x 2 + a y 2 , у цьому випадку коефіцієнти a x та a y виступають у ролі координат вектора a → у заданій системі координат.

Приклад 1

Обчислити довжину вектора a → = 7; e заданого в прямокутній системі координат.

Рішення

Щоб знайти довжину вектора, використовуватимемо формулу знаходження довжини вектора за координатами a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Відповідь: a → = 49 + e.

Формула для знаходження довжини вектора a → = a x; a y; a z за його координатами в декартовій системі координат Oxyz у просторі, виводиться аналогічно формулі для випадку на площині (див. малюнок нижче)

В даному випадку O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (оскільки ОА – діагональ прямокутного паралелепіпеда), звідси O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . З визначення координат вектора можемо записати такі рівності O A x = a x; O A y = a y; O A z = a z; , а довжина ОА дорівнює довжині вектора, яку шукаємо, отже, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Звідси випливає, що довжина вектора a = a x ; a y; a z дорівнює a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Приклад 2

Обчислити довжину вектора a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , де i → , j → , k → - орти прямокутної системи координат.

Рішення

Дано розкладання вектора a → = 4 · i → -3 · j → + 5 · k → його координати рівні a → = 4, - 3, 5 . Використовуючи вищевиведену формулу, отримаємо a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .

Відповідь: a → = 5 2 .

Довжина вектора через координати точок його початку та кінця

Вище було виведено формули, що дозволяють знаходити довжини вектора за його координатами. Ми розглянули випадки на площині та у тривимірному просторі. Скористаємося ними для знаходження координат вектора за координатами точок його початку та кінця.

Отже, дані точки з заданими координатами A (a x ; a y) і B (b x ; b y) , звідси вектор A B → має координати (b x - a x ; b y - a y) значить, його довжина може бути визначена за формулою: A B → = ( b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

А якщо дані точки із заданими координатами A (a x ; a y ; a z) і B (b x ; b y ; b z) у тривимірному просторі, то довжину вектора A B → можна обчислити за формулою

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Приклад 3

Знайти довжину вектора A B → якщо в прямокутній системі координат A 1 , 3 , B - 3 , 1 .

Рішення

Використовуючи формулу знаходження довжини вектора за координатами точок початку і кінця на площині, отримаємо A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Другий варіант рішення має на увазі під собою застосування даних формул по черзі: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3); A B → = (-4) 2 + (1 – 3) 2 = 20 – 2 3 . -

Відповідь: AB → = 20 - 2 3 .

Приклад 4

Визначити, при яких значеннях довжина вектора A B → дорівнює 30 якщо A (0 , 1 , 2) ; B (5 , 2 , λ 2).

Рішення

Для початку розпишемо довжину вектора A B → за формулою: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Потім отриманий вираз прирівняємо до 30 звідси знайдемо шукані λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 і л і λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Відповідь: 1 = - 2 , 2 = 2 , 3 = 0 .

Знаходження довжини вектора за теоремою косінусів

На жаль, але завдання не завжди бувають відомі координати вектора, тому розглянемо інші способи знаходження довжини вектора.

Нехай задані довжини двох векторів A B → , A C → та кут між ними (або косинус кута), а потрібно знайти довжину вектора B C → або C B → . У такому випадку, слід скористатися теоремою косінусів у трикутнику Δ A B C , обчислити довжину сторони B C , яка дорівнює довжині вектора, що шукається.

Розглянемо такий випадок на прикладі.

Приклад 5

Довжини векторів A B → A C → рівні 3 і 7 відповідно, а кут між ними дорівнює π 3 . Обчислити довжину вектора BC → .

Рішення

Довжина вектора BC → в даному випадку дорівнює довжині сторони BC трикутника ΔABC . Довжини сторін A B і A C трикутника відомі з умови (вони рівні довжинам відповідних векторів), також відомий кут між ними, тому ми можемо скористатися теоремою косінусів: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 · A B · A C · cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким чином, B C → = 37 .

Відповідь: BC → = 37 .

Отже, для знаходження довжини вектора за координатами існують наступні формули a → = a x 2 + a y 2 або a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 по координатах точок початку і кінця вектора A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 або A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 в деяких випадках слід використовувати теорему косінусів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter