У цій статті ми дамо визначення відстані від точки до площини та розберемо метод координат, що дозволяє знаходити відстань від заданої точки до заданої площини у тривимірному просторі. Після викладу теорії докладно розберемо розв'язання кількох характерних прикладів та завдань.
Навігація на сторінці.
Відстань від точки до площини – визначення.
Відстань від точки до площини визначається через , одна з яких задана точка, а інша – проекція заданої точки на задану площину.
Нехай у тривимірному просторі задана точка М1 та площина. Проведемо через точку М 1 пряму a, перпендикулярну до площини. Позначимо точку перетину прямої a та площини як H 1 . Відрізок M 1 H 1 називають перпендикуляромопущеним з точки М 1 на площину , а точку H 1 – основою перпендикуляра.
Визначення.
– це відстань від даної точки до основи перпендикуляра, проведеного із заданої точки до заданої площини.
Найчастіше зустрічається визначення відстань від точки до площини у такому вигляді.
Визначення.
Відстань від точки до площини- Це довжина перпендикуляра, опущеного із заданої точки до заданої площини.
Слід зазначити, що відстань від точки М 1 до площини , визначене таким чином, є найменшою відстаней від заданої точки М 1 до будь-якої точки площини . Дійсно, нехай точка H 2 лежить у площині та відмінна від точки H 1 . Вочевидь, трикутник М 2 H 1 H 2 є прямокутним, у ньому М 1 H 1 – катет, а M 1 H 2 – гіпотенуза, отже, 
. До речі, відрізок M1H2 називається похилій, Проведеної з точки М 1 до площини . Отже, перпендикуляр, опущений із заданої точки на задану площину, завжди менше похилої, проведеної з цієї точки до заданої площини.
Відстань від точки до площини – теорія, приклади, рішення.
Деякі геометричні завдання певному етапі рішення вимагають знаходження відстані від точки до площині. Спосіб для цього підбирається в залежності від вихідних даних. Зазвичай результат призводить використання або теореми Піфагора, або ознак рівності і подоби трикутників. Якщо ж потрібно знайти відстань від точки до площини, які задані в тривимірному просторі, то на допомогу приходить метод координат. У цьому пункті статті ми якраз його й розберемо.
Спочатку сформулюємо умову задачі.
У прямокутній системі координат Oxyz у тривимірному просторі дана точка 
, площину та потрібно знайти відстань від точки М 1 до площини .
Розберемо два способи розв'язання цього завдання. Перший спосіб, що дозволяє обчислити відстань від точки до площини, заснований на знаходженні координат точки H 1 - основи перпендикуляра, опущеного з точки М 1 на площину і подальшому обчисленні відстані між точками М 1 і H 1 . Другий спосіб знаходження відстані від заданої точки до заданої площини передбачає використання нормального рівняння заданої площини.
Перший спосіб, що дозволяє обчислювати відстань від точки до площини.
Нехай H 1 - Основа перпендикуляра, проведеного з точки M 1 до площини . Якщо ми визначимо координати точки H 1 , то відстань від точки М 1 до площини можна буде обчислити як відстань між точками і 
за формулою . Таким чином, залишається знайти координати точки H1.
Отже, алгоритм знаходження відстані від точки до площининаступний:
Другий спосіб, який підходить для знаходження відстані від точки до площини.
Так як у прямокутній системі координат Oxyz нам задана площина, ми можемо отримати нормальне рівняння площини у вигляді. Тоді відстань від точки до площини обчислюється за такою формулою . Справедливість цієї формули для знаходження відстані від точки до площини встановлюється наступною теоремою.
Теорема.
Нехай у тривимірному просторі зафіксована прямокутна система координат Oxyz, задана точка і нормальне рівняння площини виду. Відстань від точки М 1 до площини дорівнює абсолютній величині значення виразу, що стоїть у лівій частині нормального рівняння площини, обчисленого при , тобто .
Доведення.
Доказ цієї теореми абсолютно аналогічний доказу подібної теореми, наведеної в розділі знаходження відстані від точки до прямої .
Нескладно показати, що відстань від точки М 1 до площини дорівнює модулю різниці числової проекції М 1 і відстані від початку координат до площини , тобто, 
, де 
- нормальний вектор площини дорівнює одиниці, - 
на напрямок, що визначається вектором .
і за визначенням одно, а в координатній формі. Отже, і що потрібно було довести.
Таким чином, відстань від точки до площини можна обчислити, підставивши в ліву частину нормального рівняння площини замість x , y та z координати x 1 , y 1 і z 1 точки М 1 і взявши абсолютну величину отриманого значення.
Приклади знаходження відстані від точки до площини.
приклад.
Знайти відстань від точки 
до площини.
Рішення.
Перший метод.
За умови завдання нам дано загальне рівняння площини виду, звідки видно, що 
- Нормальний вектор цієї площини. Цей вектор можна прийняти як напрямний вектор прямий a перпендикулярної до заданої площини. Тоді ми можемо написати канонічні рівняння прямої в просторі, яка проходить через точку і має напрямний вектор з координатами, вони мають вигляд.
Приступаємо до знаходження координат точки перетину прямої 
та площині. Позначимо її H1. Для цього спочатку виконаємо перехід від канонічних рівнянь прямої до рівнянь двох площин, що перетинаються: 
Тепер розв'яжемо систему рівнянь 
(за необхідності звертайтеся до статті). Використовуємо: 
Таким чином, .
Залишилося обчислити необхідну відстань від заданої точки до заданої площини як відстань між точками і :
.
Другий спосіб вирішення.
Отримаємо нормальне рівняння заданої площини. Для цього нам потрібно привести загальне рівняння площини до нормального вигляду. Визначивши нормуючий множник 
, отримуємо нормальне рівняння площини 
. Залишилося обчислити значення лівої частини отриманого рівняння при 
і взяти модуль отриманого значення – це дасть відстань від точки, що шукається до площини:
Тому я читав щось на цій сторінці (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)
D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vNormal);
де vP1-точка на площині, а vNormal-нормаль до площини. Мені цікаво, як це дає вам відстань від початку світу, так як результат завжди дорівнюватиме 0. Крім того, щоб бути ясним (оскільки я все ще трохи туманний в частині D плоского рівняння), чи є d у плоскому рівнянні відстанню від лінії через початок світу на початок площини?
math3 Відповіді
6
У загальному випадку відстань між точкою p і площиною може бути розрахована за формулою
де
і де p0 це точка на площині.
Якщо n має одиничну довжину, то точковий добуток між вектором та ним є (знакова) довжина проекції вектора на Нормаль.
Формула, яку ви повідомляєте, є лише окремим випадком, коли точка p є початком координат. В цій справі
Distance = Ця рівність формально неправильна, тому що точковий твір стосується векторів, а не точок... але все ще тримається чисельно. Записавши явну формулу ви отримаєте це (0 - p0.x) * n.x + (0 - p0.y) * n.y + (0 - p0.z) * n.z це те саме, що - (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)
Результат не завжди дорівнює нулю. Результат дорівнюватиме нулю тільки в тому випадку, якщо площина пройде через початок координат. (Тут припустимо, що літак не проходить через початок координат.) В принципі вам дається лінія від початку координат до деякої точки на площині. (I.e. у вас є вектор від початку координат до vP1). Проблема з цим вектором полягає в тому, що, швидше за все, він нахилений і спрямовується в якесь далеке місце на площині, а не в найближчу точку на площині. Таким чином, якщо ви просто взяли довжину vP1, ви отримаєте надто велику відстань. Що вам потрібно зробити, так це отримати проекцію vP1 на деякий вектор, який, як ви знаєте, перпендикулярний площині. Це, звичайно, vNormal. Отже, візьміть точковий добуток vP1 та vNormal та розділіть його на довжину vNormal, і ви отримаєте відповідь. (Якщо вони досить люб'язні, щоб дати вам vNormal, який вже є величиною один, тоді не потрібно розділяти.)
Ви можете вирішити цю проблему за допомогою множників Лагранжа: Ви знаєте, що найближча точка на площині повинна мати вигляд: C = p + v Де c - найближча точка, а v - вектор уздовж площини (яка, таким чином, ортогональна нормалі до n). Ви намагаєтеся знайти c із найменшою нормою (або нормою у квадраті). Таким чином, ви намагаєтеся мінімізувати dot(c,c) за умови, що v ортогонально n (отже dot(v,n) = 0). Таким чином, встановіть Лагранжіан: L = dot (c, c) + lambda * (dot (v, n)) L = dot (p + v, p + v) + lambda * (dot (v, n)) L = dot (p, p) + 2*dot(p,v) + dot(v,v) * lambda * (dot(v,n)) І взяти похідну по відношенню до v (і встановити 0), щоб отримати: 2 * p + 2 * v + lambda * n = 0 Ви можете вирішити для lambda в рівнянні вище, поставивши точку, роблячи обидві сторони на n щоб отримати 2 * dot (p, n) + 2 * dot (v, n) + lambda * dot (n, n) = 0 2 * dot (p, n) + lambda = 0 lambda = - 2 * dot (p, n) ) Зауважимо вкотре, що dot(n,n) = 1 і dot(v,n) = 0 (оскільки v перебуває у площині, а n ортогонально їй). Потім Substitute lambda повертається, щоб отримати: 2 * p + 2 * v - 2 * dot (p, n) * n = 0 і вирішити для v , щоб отримати: V = dot (p, n) * n - p Потім підключіть це назад до c = p + v , щоб отримати: C = dot (p, n) * n Довжина цього вектора дорівнює | dot (p, n) | , і знак говорить вам, чи точка в напрямку нормального вектора від початку координат або у зворотному напрямку від початку координат. припустимо, у мене є плоске рівняння ax+by+cz=d, як я можу знайти найкоротшу відстань від площини до початку координат? Я йду у зворотному напрямку від цієї посади. У цьому пості вони... Допустимо, Kinect сидить на (0,0,0) і дивиться у напрямку +Z. Припустимо, що існує об'єкт у точці (1, 1, 1) і один з пікселів у зображенні глибини Kinect представляє цей об'єкт. Я хочу вирівняти відстань від початку координат до всіх точок, де точки задаються кадром даних із двома координатами. У мене є всі точки, як: x y 1 0.0 0.0 2 -4.0 -2.8 3 -7.0 -6.5 4 -9.0 -11.1... Довідкова Інформація Розглянемо сферичну систему координат, подібну до показаної тут: Система Координат http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif Для конкретної точки ми... У мене є сцена 3D та камера, визначена за допомогою gluPerspective . У мене є фіксований FOV, і я знаю мінімальну відстань будь-якої геометрії до камери (це вигляд від першої особи, так що це... У мене є трикутник з точками A, B, C і точкою у просторі (P). Як я можу отримати відстань від точки до площини? Мені потрібно вирахувати відстань від P до площини, навіть якщо мій... Я хочу повернути CGPoint (червоний прямокутник) навколо іншого CGPoint(синій прямокутник), але він змінює відстань від початку координат (синій прямокутник)...коли я даю 270 у вугіллі, він створює... Мені потрібно отримати центр площини X, Y, Z, Декартові координати. У мене є Нормаль площини та відстань від її центральної точки до початку координат. Я можу помістити точку(и) в будь-якому місці і... Дано: точка (x1, y1, z1) вектор напряму (a1, b1, c1) літак ax + by + cz + d = 0 Як я можу знайти відстань D від точки до площини вздовж цього вектора? спасибі У мене є система координат камери, визначена матрицею обертання R та перекладом T щодо світової системи координат. Площина визначається в координаті камери нормаллю N і точкою P на ній. Ця стаття розповідає про визначення відстані від точки до площини. зробимо розбір методом координат, який дозволить знаходити відстань від заданої точки тривимірного простору. Для закріплення розглянемо приклади кількох завдань. Відстань від точки до площини знаходиться за допомогою відомої відстані від точки до точки, де одна із них задана, а інша – проекція на задану площину. Коли в просторі задається точка М 1 з площиною , то через точку можна провести перпендикулярну пряму площині. Н 1 є загальною точкою їхнього перетину. Звідси отримуємо, що відрізок М 1 Н 1 – це перпендикуляр, який провели з точки М 1 до площини χ де точка Н 1 – основа перпендикуляра. Визначення 1 Називають відстань від заданої точки до основи перпендикуляра, який провели із заданої точки до заданої площини. Визначення може бути записане різними формулюваннями. Визначення 2 Відстанню від точки до площининазивають довжину перпендикуляра, який провели із заданої точки до заданої площини. Відстань від точки М 1 до площини χ визначається так: відстань від точки М 1 до площини буде найменшою від заданої точки до будь-якої точки площини. Якщо точка Н 2 розташовується в площині χ і не дорівнює точці Н 2 тоді отримуємо прямокутний трикутник виду М 2 H 1 H 2
, Що є прямокутним, де є катет М 2 H 1 , М 2 H 2
- Гіпотенуза. Отже, звідси випливає, що M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1
вважається похилою, яка проводиться з точки М 1 до площини . Ми маємо, що перпендикуляр, проведений із заданої точки до площини, менше похилої, яку проводять із точки до заданої площини. Розглянемо цей випадок малюнку, наведеному нижче. Існує ряд геометричних завдань, розв'язання яких повинні містити відстань від точки до площини. Способи виявлення цього можуть бути різними. Для вирішення застосовують теорему Піфагора або подібність трикутників. Коли за умовою необхідно розрахувати відстань від точки до площини, задані прямокутної системі координат тривимірного простору, вирішують методом координат. Цей пункт розглядає цей метод. За умовою завдання маємо, що задана точка тривимірного простору з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) з площиною χ необхідно визначити відстань від М 1 до площини χ . Для вирішення застосовується кілька способів розв'язання. Перший спосіб
Цей спосіб ґрунтується на знаходженні відстані від точки до площини за допомогою координат точки Н 1 , які є основою перпендикуляра з точки М 1 до площини. Далі необхідно обчислити відстань між М1 і Н1. Для вирішення завдання другим способом застосовують нормальне рівняння заданої площини. Другий спосіб
За умовою маємо, що Н 1 є основою перпендикуляра, що опустили з точки М 1 на площину χ . Тоді визначаємо координати (x2, y2, z2) точки Н1. Відстань від М 1 до площини χ знаходиться за формулою M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 , де M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Для вирішення необхідно дізнатись координати точки Н 1 . Маємо, що Н 1 є точкою перетину площини з прямою a , яка проходить через точку М 1 , розташовану перпендикулярно площині . Звідси випливає, що необхідно складання рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно заданій площині. Саме тоді зможемо визначити координати точки Н1. Необхідно провести обчислення координат точки перетину прямої та площини. Алгоритм знаходження відстані від точки з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до площини χ : Визначення 3 Третій спосіб
У заданій прямокутній системі координат О х у z є площина , тоді отримуємо нормальне рівняння площини виду cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Звідси отримуємо, що відстань M 1 H 1 з точкою M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , проведеної на площину χ , що обчислюється за формулою M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z-p. Ця формула справедлива, оскільки це встановлено завдяки теоремі. Теорема Якщо задана точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) у тривимірному просторі, що має нормальне рівняння площини χ виду cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 тоді обчислення відстані від точки до площині M 1 H 1 виробляється з формули M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, так як x = x 1, y = y 1, z = z 1 . Доведення Доказ теореми зводиться до знаходження відстані від точки до прямої. Звідси отримуємо, що відстань від M 1 до площини - це і є модуль різниці числової проекції радіус-вектора M 1 з відстанню від початку координат до площини . Тоді отримуємо вираз M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Нормальний вектор площини має вигляд n → = cos α , cos β , cos γ , а його довжина дорівнює одиниці, n p n → O M → - числова проекція вектора O M → = (x 1 , y 1 , z 1) у напрямку, що визначається вектором n → . Застосуємо формулу обчислення векторів скалярних. Тоді отримуємо вираз для знаходження вектора виду n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , оскільки n → = cos α , cos β , cos γ · z та O M → = (x 1, y 1, z 1). Координатна форма запису набуде вигляду n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , тоді M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Теорему доведено. Звідси отримуємо, що відстань від точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до площини χ обчислюється за допомогою підстановки в ліву частину нормального рівняння площини cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 замість х, у, z координати x 1 , y 1 z 1, Що стосуються точки М 1 , взявши абсолютну величину отриманого значення. Розглянемо приклади знаходження відстані від точки з координатами до заданої площини. Приклад 1 Обчислити відстань від точки з координатами M 1 (5, - 3, 10) до площини 2 x - y + 5 z - 3 = 0. Рішення
Розв'яжемо задачу двома способами. Перший спосіб почнеться з обчислення напрямного вектора прямої a. За умовою маємо, що задане рівняння 2 x - y + 5 z - 3 = 0 є рівнянням площини загального виду, а n → = (2, - 1, 5) є нормальним вектором заданої площини. Його застосовують як напрямний вектор прямої a , яка перпендикулярна щодо заданої площини. Слід записати канонічне рівняння прямої в просторі, що проходить через M 1 (5 - 3 10) з напрямним вектором з координатами 2 - 1 5 . Рівняння набуде вигляду x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 . Слід визначити точки перетину. Для цього ніжно об'єднати рівняння в систему для переходу від канонічного до рівнянь двох прямих, що перетинаються. Цю точку приймемо за Н1. Отримаємо, що x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 Після цього необхідно вирішити систему x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Звернемося до правила вирішення системи за Гаусом: 1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 · 10 + 2 · z = - 1 , x = - 1 - 2 · y = 1 Отримуємо, що H 1 (1, - 1, 0). Здійснюємо обчислення відстані від заданої точки до площини. Беремо точки M 1 (5, - 3, 10) і H 1 (1, - 1, 0) і отримуємо M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30 Другий спосіб вирішення полягає в тому, щоб спочатку привести задане рівняння 2 x - y + 5 z - 3 = 0 до нормального вигляду. Визначаємо нормуючий множник та отримуємо 1 2 2 + (-1) 2 + 5 2 = 1 30 . Звідси виводимо рівняння площини 230 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Обчислення лівої частини рівняння проводиться за допомогою підстановки x = 5, y = - 3, z = 10, причому потрібно взяти відстань від M 1 (5, - 3, 10) до 2 x - y + 5 z - 3 = 0 за модулем. Отримуємо вираз: M 1 H 1 = 2 30 · 5 - 1 30 · - 3 + 5 30 · 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30 Відповідь: 2 30 . Коли площина χ визначається одним із способів розділу способи завдання площини, тоді потрібно для початку отримати рівняння площини χ і обчислювати відстань за допомогою будь-якого методу. Приклад 2 У тривимірному просторі задаються точки з координатами M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Обчислити розтягнення від М 1 до площини АВС. Рішення
Для початку необхідно записати рівняння площини, що проходить через задані три точки з координатами M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0 Звідси випливає, що завдання має аналогічне до попереднього рішення. Отже, відстань від точки М 1 до площини АВС має значення 2 30 . Відповідь: 2 30 . Знаходження відстані від заданої точки на площині або площині, яким вони паралельні, зручніше, застосувавши формулу M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Звідси отримаємо, що нормальні рівняння площин одержують кілька дій. Приклад 3 Знайти відстань від заданої точки з координатами M 1 (-3,2,-7) до координатної площини О х у z і площині, заданої рівнянням 2 y - 5 = 0 . Рішення
Координатна площина О у z відповідає рівнянню виду х = 0. Для площини О у z воно є нормальним. Тому необхідно підставити в ліву частину виразу значення х = - 3 і взяти модуль значення відстані від точки з координатами M 1 (- 3, 2, - 7) до площини. Отримуємо значення, що дорівнює - 3 = 3 . Після перетворення нормальне рівняння площини 2 y - 5 = 0 набуде вигляду y - 5 2 = 0 . Тоді можна знайти відстань від точки з координатами M 1 (- 3 , 2 , - 7) до площини 2 y - 5 = 0 . Підставивши та обчисливши, отримуємо 2 - 5 2 = 5 2 - 2 . Відповідь:Відстань від M 1 (- 3 , 2 , - 7) до О у z має значення 3 , а до 2 y - 5 = 0 має значення 5 2 - 2 . Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
2
1
найкоротша відстань від площини до початку координат з використанням рівняння площини
Чи є зображення глибини з Kinect відстань до початку координат або відстань до площини XY?
Відстань від початку координат до точки у просторі
сферичні координати-відстань до площини
Як методично вибрати близьку відстань площини кліпу для перспективної проекції?
Як отримати відстань від точки до площини 3d?
Обертання точки CG змінює відстань від початку координат
Отримати центр площини X, Y, Z, декартові координати
відстань від точки до площини у певному напрямку
Перетворення площини на іншу систему координат 
Відстань від точки до площини – теорія, приклади, рішення