ТЕМА: Інтегрування раціональних дробів.

Увага! При вивченні одного з основних прийомів інтегрування: інтегрування раціональних дробів – потрібно для проведення суворих доказів розглядати багаточлени у комплексній галузі. Тому необхідно вивчити попередньо деякі властивості комплексних чисел та операцій над ними.

Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

Якщо P(z) і Q(z) - багаточлени в комплексній області, то - раціональний дріб. Вона називається правильноюякщо ступінь P(z) менше ступеня Q(z) , і неправильноюякщо ступінь Р не менше ступеня Q.

Будь-який неправильний дріб можна представити у вигляді: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – багаточлен, ступінь якого менший за ступінь Q(z).

Таким чином, інтегрування раціональних дробів зводиться до інтегрування багаточленів, тобто статечних функцій, і правильних дробів, оскільки є правильним дробом.

Визначення 5. Найпростішими (або елементарними) дробами називаються дроби таких видів:

1) , 2) , 3) , 4) .

З'ясуємо, як вони інтегруються.

3) (Вивчений раніше).

Теорема 5. Будь-який правильний дріб можна подати у вигляді суми найпростіших дробів (без доказу).

Наслідок 1. Якщо - правильний раціональний дріб, і якщо серед коренів багаточлена будуть тільки прості дійсні корені, то в розкладанні дробу на суму найпростіших дробів будуть присутні лише найпростіші дроби 1-го типу:

приклад 1.

Наслідок 2. Якщо - правильний раціональний дріб, і якщо серед коренів багаточлена будуть тільки кратні дійсні корені, то в розкладанні дробу на суму найпростіших дробів будуть присутні лише найпростіші дроби 1-го та 2-го типів:

приклад 2.

Наслідок 3. Якщо - правильний раціональний дріб, і якщо серед коренів багаточлена будуть лише прості комплексно - сполучені корені, то в розкладанні дробу на суму найпростіших дробів будуть присутні лише найпростіші дроби 3-го типу:

Приклад 3.

Наслідок 4. Якщо - правильний раціональний дріб, і якщо серед коренів багаточлена будуть лише кратні комплексно - сполучені корені, то в розкладанні дробу на суму найпростіших дробів будуть присутні лише найпростіші дроби 3-го та 4-го типів:

Для визначення невідомих коефіцієнтів у наведених розкладах надходять в такий спосіб. Ліву і праву частину розкладання , що містить невідомі коефіцієнти, множать на рівність двох многочленів. З нього отримують рівняння на шукані коефіцієнти, використовуючи, що:

1. рівність справедливо за будь-яких значеннях Х (метод приватних значень). І тут виходить скільки завгодно рівнянь, будь-які m у тому числі дозволяють знайти невідомі коефіцієнти.

2. збігаються коефіцієнти при однакових ступенях Х (метод невизначених коефіцієнтів). І тут виходить система m – рівнянь з m – невідомими, у тому числі знаходять невідомі коефіцієнти.

3. комбінований спосіб.

Приклад 5. Розкласти дріб на найпростіші.

Рішення:

Знайдемо коефіцієнти А та В.

1 спосіб - метод приватних значень:

2 спосіб - метод невизначених коефіцієнтів:

Відповідь:

Інтегрування раціональних дробів.

Теорема 6. Невизначений інтеграл від будь-якого раціонального дробу на будь-якому проміжку, на якому його знаменник не дорівнює нулю, існує і виражається через елементарні функції, а саме раціональні дроби, логарифми та арктангенси.

Доведення.

Подаємо раціональний дріб у вигляді: . При цьому останній доданок є правильним дробом, і по теоремі 5 її можна подати у вигляді лінійної комбінації найпростіших дробів. Таким чином, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегрування багаточлена. S(x) і найпростіших дробів, первинні яких, як було показано, мають вигляд, зазначений у теоремі.

Зауваження. Основну труднощі у своїй становить розкладання знаменника на множники, тобто пошук всіх його коренів.

Приклад 1. Знайти інтеграл

Підінтегральна функція є правильним раціональним дробом. Розкладання на неприведені помножувачі знаменника має вигляд Це означає, що розкладання підінтегральної функції у суму найпростіших дробів має такий вигляд:

Знайдемо коефіцієнти розкладання комбінованим методом:

Таким чином,

Приклад 2. Знайти інтеграл

Підінтегральна функція – неправильний дріб, тому виділяємо цілу частину:

Перший з інтегралів – табличний, а другий обчислимо розкладанням правильного дробу на найпростіші:

Маємо за методом невизначених коефіцієнтів:

Таким чином,

Все вищевикладене у попередніх пунктах дозволяє нам сформулювати основні правила інтегрування раціонального дробу.

1. Якщо раціональний дріб неправильний, то його представляють у вигляді суми багаточлена та правильного раціонального дробу (див. п. 2).

Цим самим інтегрування неправильного раціонального дробу зводять до інтегрування багаточлена та правильного раціонального дробу.

2. Розкладають знаменник правильного дробу на множники.

3. Правильний раціональний дріб розкладають на суму найпростіших дробів. Цим самим інтегрування правильного раціонального дробу зводять до інтегрування найпростіших дробів.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Знайти.

Рішення. Під інтегралом стоїть неправильний раціональний дріб. Виділяючи цілу частину, отримаємо

Отже,

Помічаючи, що , розкладемо правильний раціональний дріб

на найпростіші дроби:

(Див. формулу (18)). Тому

Таким чином, остаточно маємо

Приклад 2. Знайти

Рішення. Під інтегралом стоїть правильний раціональний дріб.

Розкладаючи її на найпростіші дроби (див. формулу (16)), отримаємо

Введіть функцію, для якої потрібно знайти інтеграл

Після обчислення невизначеного інтеграла, ви зможете отримати безкоштовно ДЕТАЛЬНЕ рішення введеного вами інтеграла.

Знайдемо розв'язання невизначеного інтеграла від функції f(x) (первоманітну функцію).

Приклади

Із застосуванням ступеня
(квадрат і куб) та дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратний корінь

Sqrt(x)/(x + 1)

Кубічний корінь

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Із застосуванням синуса та косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

X*arcsin(x)

Арккосінус

X*arccos(x)

Застосування логарифму

X * log (x, 10)

Натуральний логарифм

Експонента

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Ірраціональне дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Арккотангенс

X*arcctg(x)

Гіберболічний синус та косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гіберболічні тангенс та котангенс

Ctgh(x)/tgh(x)

Гіберболічні арксинус та арккосинус

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гіберболічні арктангенс та арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила введення виразів та функцій

Вирази можуть складатися з функцій (позначення наведено в алфавітному порядку): absolute(x)Абсолютне значення x
(модуль xабо |х|) arccos(x)Функція - арккосинус від x arccosh(x)Арккосинус гіперболічний від x arcsin(x)Арксинус від x arcsinh(x)Арксинус гіперболічний від x arctg(x)Функція - арктангенс від x arctgh(x)Арктангенс гіперболічний від x e eчисло, яке приблизно дорівнює 2.7 exp(x)Функція - експонента від x(що і e^x) log(x) or ln(x)Натуральний логарифм від x
(Щоб отримати log7(x), треба ввести log(x)/log(7) (або, наприклад, для log10(x)=log(x)/log(10)) piЧисло - "Пі", яке приблизно дорівнює 3.14 sin(x)Функція - Сінус від x cos(x)Функція - Косинус від x sinh(x)Функція - Синус гіперболічний від x cosh(x)Функція - Косинус гіперболічний від x sqrt(x)Функція - квадратний корінь з x sqr(x)або x^2Функція – Квадрат x tg(x)Функція - Тангенс від x tgh(x)Функція - Тангенс гіперболічний від x cbrt(x)Функція - кубічний корінь з x

У виразах можна застосовувати такі операції: Справжні числавводити у вигляді 7.5 , не 7,5 2*x- множення 3/x- розподіл x^3- зведення в ступінь x + 7- додавання x - 6- віднімання
Інші функції: floor(x)Функція - заокруглення xу меншу сторону (приклад floor(4.5)==4.0) ceiling(x)Функція - заокруглення xу велику сторону (приклад ceiling(4.5)==5.0) sign(x)Функція - Знак x erf(x)Функція помилок (або інтеграл імовірності) laplace(x)Функція Лапласа

Завдання знаходження невизначеного інтеграла дробово раціональної функції зводиться до інтегрування найпростіших дробів. Тому рекомендуємо спочатку ознайомитися з розділом теорії розкладання дробу на найпростіші.

приклад.

Рішення.

Оскільки ступінь чисельника підінтегральної функції дорівнює ступеню знаменника, то спочатку виділяємо цілу частину, проводячи розподіл стовпчиком многочлена на многочлен:

Тому, .

Розкладання отриманого правильного раціонального дробу на найпростіші дроби має вигляд . Отже,

Отриманий інтеграл є інтегралом найпростішого дробу третього типу. Забігаючи трохи вперед, відзначимо, що його можна методом підведення під знак диференціала.

Так як , то . Тому

Отже,

Тепер перейдемо до опису методів інтегрування найпростіших дробів кожного із чотирьох типів.

Інтегрування найпростіших дробів першого типу

Для вирішення цього завдання ідеально підходить метод безпосереднього інтегрування:

приклад.

Рішення.

Знайдемо невизначений інтеграл, використовуючи властивості первісної, таблицю первісних і правило інтегрування.

На початок сторінки

Інтегрування найпростіших дробів другого типу

Для вирішення цього завдання також підходить метод безпосереднього інтегрування:

приклад.

Рішення.

На початок сторінки

Інтегрування найпростіших дробів третього типу

Спочатку представляємо невизначений інтеграл у вигляді суми:

Перший інтеграл беремо методом підведення під знак диференціалу:

Тому,

У отриманого інтеграла перетворимо знаменник:

Отже,

Формула інтегрування найпростіших дробів третього типу набуває вигляду:

приклад.

Знайдіть невизначений інтеграл .

Рішення.

Використовуємо отриману формулу:

Якби в нас не було цієї формули, то як би ми вчинили:

9. Інтегрування найпростіших дробів четвертого типу

Перший крок – підбиваємо під знак диференціалу:

Другий крок – знаходження інтеграла виду . Інтеграли такого виду знаходяться з використанням рекурентних формул. (Дивіться розділ інтегрування з використанням рекурентних формул). Для нашого випадку підходить наступна рекурентна формула:

приклад.

Знайдіть невизначений інтеграл

Рішення.

Для цього виду підінтегральної функції використовуємо метод підстановки. Введемо нову змінну (дивіться розділ інтегрування ірраціональних функцій):

Після підстановки маємо:

Прийшли до знаходження інтеграла дробу четвертого типу. У нашому випадку маємо коефіцієнти М = 0, р = 0, q = 1, N = 1і n = 3. Застосовуємо рекурентну формулу:

Після зворотної заміни отримуємо результат:

10. Інтегрування тригонометричних функцій.

Багато завдань зводиться до знаходження інтегралів трансцендентних функцій, що містять тригонометричні функції. У цій статті згрупуємо найпоширеніші види підінтегральних функцій і на прикладах розглянемо методи їх інтегрування.

Почнемо з інтегрування синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

З таблиці первісних відразу зауважимо, що і .

Метод підведення під знак диференціала дозволяє обчислити невизначені інтеграли функцій тангенсу та котангенсу:

На початок сторінки

Розберемо перший випадок, другий — абсолютно аналогічний.

Скористаємося методом підстановки:

Прийшли завдання інтегрування ірраціональної функції. Тут нам також допоможе метод підстановки:

Залишилося провести зворотну заміну та t = sinx:

На початок сторінки

Детально про принципи їх знаходження можете ознайомитись у розділі інтегрування з використанням рекурентних формул. Якщо вивчите висновок цих формул, то без особливих зусиль зможете брати інтеграли виду , де mі n- натуральні числа.

На початок сторінки

На початок сторінки

Максимум творчості доводиться вкладати, коли підінтегральна функція містить тригонометричні функції з різними аргументами.

Тут на допомогу приходять основні формули тригонометрії. Так що виписуйте їх на окремий листочок і тримайте перед очима.

приклад.

Знайти безліч первинних функцій .

Рішення.

Формули зниження ступеня дають і .

Тому

Знаменник є формулою синуса суми, отже,

Приходимо до суми трьох інтегралів.

На початок сторінки

Підінтегральні вирази, що містять тригонометричні функції, іноді можна звести до дрібно раціональних виразів, використовуючи стандартну тригонометричну підстановку.

Випишемо тригонометричні формули, що виражають синус, косинус, тангенс через тангенс половинного аргументу:

При інтегруванні нам також знадобиться вираз диференціалу dxчерез тангенс половинного кута.

Так як , то

Тобто, де.

приклад.

Знайти невизначений інтеграл .

Рішення.

Застосуємо стандартну тригонометричну підстановку:

Таким чином, .

Розкладання на найпростіші дробипідінтегральної функції призводить до суми двох інтегралів:

Залишилося провести зворотну заміну:

11. Рекурентні формули – це формули, що виражають n-ий член послідовності через попередні члени. При знаходженні інтегралів вони рідко використовуються.

Ми не ставимо за мету перерахувати всі рекурентні формули, а хочемо дати принцип їх отримання. Висновок цих формул заснований на перетворенні підінтегральної функції та застосуванні методу інтегрування частинами.

Наприклад, невизначений інтеграл можна взяти, використовуючи рекурентну формулу .

Висновок формули:

Використовуючи формули тригонометрії, можна записати:

Отриманий інтеграл знайдемо методом інтегрування частинами. Як функція u(x)візьмемо cosx, Отже, .

Тому,

Повертаємось до вихідного інтегралу:

Тобто,

Що й потрібно було показати.

Аналогічно виводяться такі рекурентні формули:

приклад.

Знайти невизначений інтеграл.

Рішення.

Використовуємо рекурентну формулу із четвертого пункту (у нашому прикладі n = 3):

Так як з таблиці першочергових маємо , то

Інтегрування дробової раціональної функції.
Метод невизначених коефіцієнтів

Продовжуємо займатися інтегруванням дробів. Інтеграли від деяких видів дробів ми вже розглянули на уроці, і цей урок у певному сенсі можна вважати продовженням. Для успішного розуміння матеріалу необхідні базові навички інтегрування, тому якщо Ви тільки приступили до вивчення інтегралів, то є чайником, то необхідно почати зі статті Невизначений інтеграл. Приклади рішень.

Як не дивно, зараз ми займатимемося не так знаходженням інтегралів, як… вирішенням систем лінійних рівнянь. В цьому зв'язку наполегливорекомендую відвідати урок А саме – потрібно добре орієнтуватися в методах підстановки («шкільному» методі та методі почленного складання (віднімання) рівнянь системи).

Що таке дрібно-раціональна функція? Найпростішими словами, дробно-раціональна функція – це дріб, у чисельнику і знаменнику якої перебувають многочлены чи твори многочленов. При цьому дроби є накрученішими, ніж ті, про які йшлося у статті Інтегрування деяких дробів.

Інтегрування правильної дробово-раціональної функції

Відразу приклад і типовий алгоритм розв'язання інтеграла від дробової раціональної функції.

Приклад 1

Крок 1.Перше, що ми ЗАВЖДИ робимо при вирішенні інтегралу від дробової раціональної функції – це з'ясовуємо наступне питання: чи є дріб правильним?Цей крок виконується усно, і зараз я поясню як:

Спочатку дивимося на чисельник та з'ясовуємо старший ступіньбагаточлена:

Старший ступінь чисельника дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник та з'ясовуємо старший ступіньзнаменника. Напрошуваний шлях - це розкрити дужки і привести подібні доданки, але можна зробити простіше, кожноюдужці знаходимо старший ступінь

і подумки множимо: - таким чином, старший ступінь знаменника дорівнює трьом. Цілком очевидно, що якщо реально розкрити дужки, ми не отримаємо ступеня, більше трьох.

Висновок: Старший ступінь чисельника СТРОГОменше старшого ступеня знаменника, отже, дріб є правильним.

Якби в цьому прикладі в чисельнику знаходився багаточлен 3, 4, 5 і т.д. ступеня, то дріб був би неправильною.

Зараз ми розглядатимемо лише правильні дробово-раціональні функції. Випадок, коли ступінь чисельника більший або дорівнює ступеню знаменника, розберемо наприкінці уроку.

Крок 2Розкладемо знаменник на множники. Дивимося на наш знаменник:

Взагалі кажучи, тут уже твір множників, але, тим не менше, запитуємо себе: чи не можна щось розкласти ще? Об'єктом тортур, безперечно, виступить квадратний тричлен. Розв'язуємо квадратне рівняння:

Дискримінант більший за нуль, отже, тричлен дійсно розкладається на множники:

Загальне правило: ВСЕ, що в знаменнику МОЖНА розкласти на множники - розкладаємо на множники

Починаємо оформляти рішення:

Крок 3Методом невизначених коефіцієнтів розкладаємо підінтегральну функцію на суму простих (елементарних) дробів. Тепер буде зрозуміліше.

Дивимося на нашу підінтегральну функцію:

І, знаєте, якось проскакує інтуїтивна думка, що непогано б наш великий дріб перетворити на кілька маленьких. Наприклад, ось так:

Виникає питання, а чи взагалі можна так зробити? Зітхнемо з полегшенням, відповідна теорема математичного аналізу стверджує – МОЖНА. Таке розкладання існує і єдино.

Тільки є одна заковика, коефіцієнти ми докине знаємо, звідси й назва метод невизначених коефіцієнтів.

Як ви здогадалися, наступні рухи тіла так, не реготати! будуть спрямовані на те, щоб якраз їх ДІЗНАТИСЯ - з'ясувати, чому ж рівні.

Будьте уважні, докладно пояснюю один раз!

Отже, починаємо танцювати від:

У лівій частині наводимо вираз до спільного знаменника:

Тепер благополучно позбавляємося знаменників (бо вони однакові):

У лівій частині розкриваємо дужки, невідомі коефіцієнти при цьому поки не чіпаємо:

Заодно повторюємо шкільне правило множення багаточленів. Під час свого перебування вчителем, я навчився вимовляти це правило з кам'яним обличчям: Для того, щоб помножити багаточлен на багаточлен, потрібно кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена..

З погляду зрозумілого пояснення коефіцієнти краще внести в дужки (хоча особисто я ніколи цього не роблю з метою економії часу):

Складаємо систему лінійних рівнянь.
Спочатку розшукуємо старші ступені:

І записуємо відповідні коефіцієнти у перше рівняння системи:

Добре запам'ятайте наступний нюанс. Що було б, якби у правій частині взагалі не було? Скажімо, красувалося б просто без жодного квадрата? І тут у рівнянні системи треба було б поставити праворуч нуль: . Чому нуль? А тому що в правій частині завжди можна приписати цей квадрат з нулем: Якщо в правій частині відсутні якісь змінні або (і) вільний член, то в правих частинах відповідних рівнянь системи ставимо нулі .

Записуємо відповідні коефіцієнти у друге рівняння системи:

І, зрештою, мінералка, підбираємо вільні члени.

Ех, ... щось я пожартував. Жарти геть – математика наука серйозна. У нас в інститутській групі ніхто не сміявся, коли доцент сказала, що розкидає члени за числовою прямою і вибере з них найбільші. Налаштовуємось на серйозний лад. Хоча... хто доживе до кінця цього уроку, все одно буде тихо посміхатися.

Система готова:

Вирішуємо систему:

(1) З першого рівняння виражаємо та підставляємо його у 2-е та 3-е рівняння системи. Насправді можна було висловити (або іншу літеру) з іншого рівняння, але в даному випадку вигідно виразити саме з 1-го рівняння, бо там найменші коефіцієнти.

(2) Наводимо подібні доданки у 2-му та 3-му рівняннях.

(3) Почленно складаємо 2-е та 3-е рівняння, при цьому, отримуючи рівність , з якого випливає, що

(4) Підставляємо у друге (або третє) рівняння, звідки знаходимо, що

(5) Підставляємо і перше рівняння, отримуючи .

Якщо виникли труднощі з методами вирішення системи, відпрацюйте їх на уроці Як розв'язати систему лінійних рівнянь?

Після вирішення системи завжди корисно зробити перевірку – підставити знайдені значення у кожнерівняння системи, в результаті все має зійтися.

Майже приїхали. Коефіцієнти знайдені, причому:

Чистове оформлення завдання має виглядати приблизно так:

Як бачите, основна проблема завдання полягала в тому, щоб скласти (правильно!) і вирішити (правильно!) систему лінійних рівнянь. А на завершальному етапі все не так складно: використовуємо властивості лінійності невизначеного інтеграла та інтегруємо. Звертаю увагу, що під кожним із трьох інтегралів у нас «халявна» складна функція, про особливості її інтегрування я розповів на уроці Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі.

Перевірка: Диференціюємо відповідь:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже, інтеграл знайдено правильно.
У ході перевірки довелося висловлюватися до спільного знаменника, і це не випадково. Метод невизначених коефіцієнтів та приведення виразу до спільного знаменника – це взаємно зворотні дії.

Приклад 2

Знайти невизначений інтеграл.

Повернемося до дробу з першого прикладу: . Неважко помітити, що в знаменнику всі множники РІЗНІ. Виникає питання, а що робити, якщо даний, наприклад, такий дріб: ? Тут у знаменнику у нас ступеня, або, по-математично кратні множники. Крім того, є нерозкладний на множник квадратний тричлен (легко переконатися, що дискримінант рівняння негативний, тому на множники тричлен не розкласти). Що робити? Розкладання у суму елементарних дробів виглядатиме на кшталт з невідомими коефіцієнтами вгорі чи якось інакше?

Приклад 3

Уявити функцію

Крок 1.Перевіряємо, чи правильний у нас дріб
Старший ступінь чисельника: 2
Старший ступінь знаменника: 8
Отже, дріб є правильним.

Крок 2Чи можна щось розкласти в знаменнику на множники? Очевидно, що ні, вже розкладено. Квадратний тричлен не розкладається у твір із зазначених вище причин. Гуд. Роботи менші.

Крок 3Подаємо дробово-раціональну функцію у вигляді суми елементарних дробів.
В даному випадку, розкладання має такий вигляд:

Дивимося на наш знаменник:
При розкладанні дробно-раціональної функції на суму елементарних дробів можна назвати три важливих момента:

1) Якщо в знаменнику знаходиться «самотній» множник у першому ступені (у нашому випадку), то вгорі ставимо невизначений коефіцієнт (у нашому випадку). Приклади №1,2 складалися лише з таких «одиноких» множників.

2) Якщо у знаменнику є кратниймножник, то розкладати потрібно так:
– тобто послідовно перебрати всі ступені «ікса» від першого до енного ступеня. У нашому прикладі два кратні множники: і ще раз погляньте на наведене мною розкладання і переконайтеся, що вони розкладені саме за цим правилом.

3) Якщо в знаменнику знаходиться нерозкладний багаточлен другого ступеня (у нашому випадку), то при розкладанні в чисельнику потрібно записати лінійну функцію з невизначеними коефіцієнтами (у нашому випадку з невизначеними коефіцієнтами та).

Насправді є ще 4-й випадок, але про нього я замовчу, оскільки на практиці він зустрічається вкрай рідко.

Приклад 4

Уявити функцію як суми елементарних дробів з невідомими коефіцієнтами.

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.
Строго слідуйте алгоритму!

Якщо Ви розібралися, за якими принципами потрібно розкладати дробово-раціональну функцію у суму, то зможете розгризти практично будь-який інтеграл типу, що розглядається.

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл.

Крок 1.Очевидно, що дріб є правильним:

Крок 2Чи можна щось розкласти в знаменнику на множники? Можна, можливо. Тут сума кубів . Розкладаємо знаменник на множники, використовуючи формулу скороченого множення

Крок 3Методом невизначених коефіцієнтів розкладемо підінтегральну функцію на суму елементарних дробів:

Зверніть увагу, що багаточлен нерозкладний на множники (перевірте, що дискримінант негативний), тому вгорі ми ставимо лінійну функцію з невідомими коефіцієнтами, а не просто одну літеру.

Наводимо дріб до спільного знаменника:

Складемо і вирішимо систему:

(1) З першого рівняння виражаємо і підставляємо на друге рівняння системи (це найбільш раціональний спосіб).

(2) Наводимо подібні доданки у другому рівнянні.

(3) Почленно складаємо друге та третє рівняння системи.

Усі подальші розрахунки, у принципі, усні, оскільки система нескладна.

(1) Записуємо суму дробів відповідно до знайдених коефіцієнтів.

(2) Використовуємо властивості лінійності невизначеного інтегралу. Що сталося у другому інтегралі? З цим методом Ви можете ознайомитись в останньому параграфі уроку Інтегрування деяких дробів.

(3) Ще раз використовуємо властивості лінійності. У третьому інтегралі починаємо виділяти повний квадрат (передостанній параграф уроку Інтегрування деяких дробів).

(4) Беремо другий інтеграл, у третьому – виділяємо повний квадрат.

(5) Беремо третій інтеграл. Готово.