У шкільному курсі математики вивчаються формули коренів квадратних рівнянь, з яких можна вирішувати будь-які квадратні рівняння. Однак є й інші способи розв'язання квадратних рівнянь, які дозволяють дуже швидко та раціонально вирішувати багато рівнянь. Є десять способів розв'язання квадратних рівнянь. Докладно у своїй роботі я розібрала кожен із них.

1. СПОСІБ : Розкладання лівої частини рівняння на множники.

Розв'яжемо рівняння

х 2 + 10х – 24 = 0.

Розкладемо ліву частину на множники:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х (х + 12) - 2 (х + 12) = (х + 12) (х - 2).

Отже, рівняння можна переписати так:

(х + 12) (х - 2) = 0

Оскільки добуток дорівнює нулю, то, по крайнього заходу, одне із його множників дорівнює нулю. Тому ліва частина рівняння звертається нуль при х = 2, а також при х = - 12. Це означає, що число 2 і - 12 є корінням рівняння х 2 + 10х – 24 = 0.

2. СПОСІБ : Метод виділення повного квадрата.

Розв'яжемо рівняння х 2 + 6х - 7 = 0.

Виділимо у лівій частині повний квадрат.

Для цього запишемо вираз х 2 + 6х у наступному вигляді:

х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.

В отриманому виразі перший доданок - квадрат числа х, а другий - подвоєний добуток х на 3. Тому щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 3 2, так як

х 2+ 2 х 3 + 3 2 = (Х + 3) 2 .

Перетворимо тепер ліву частину рівняння

х 2 + 6х - 7 = 0,

додаючи до неї і віднімаючи 3 2 . Маємо:

х 2 + 6х - 7 =х 2+ 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

Таким чином, це рівняння можна записати так:

(х + 3) 2 – 16 = 0, (х + 3) 2 = 16.

Отже, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, або x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. СПОСІБ :Розв'язання квадратних рівнянь за формулою.

Помножимо обидві частини рівняння

ах 2+bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а і маємо послідовно:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ахb + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Приклади.

а)Розв'яжемо рівняння: 4х2+7х+3=0.

а = 4,b= 7, з = 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два різні корені;

Отже, у разі позитивного дискримінанта, тобто. при

b 2 - 4 ac >0 , рівняння ах 2+bх + с = 0має два різні корені.

б)Розв'яжемо рівняння: 4х 2 – 4х + 1 = 0,

а = 4,b= - 4, с = 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корінь;

Отже, якщо дискримінант дорівнює нулю, тобто. b 2 - 4 ac = 0 , то рівняння

ах 2+bх + с = 0має єдиний корінь,

в)Розв'яжемо рівняння: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2,b= 3, с = 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Це рівняння коренів немає.

Отже, якщо дискримінант негативний, тобто. b 2 - 4 ac < 0 ,

рівняння ах 2+bх + с = 0не має коріння.

Формула (1) коріння квадратного рівняння ах 2+bх + с = 0дозволяє знайти коріння будь-якого квадратного рівняння (якщо вони є), у тому числі наведеного та неповного. Словесно формула (1) виражається так: коріння квадратного рівняння рівні дробу, чисельник якого дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, плюс мінус корінь квадратний із квадрата цього коефіцієнта без вчетверенного твору першого коефіцієнта на вільний член, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.

4. СПОСІБ: Вирішення рівнянь з використанням теореми Вієта.

Як відомо, наведене квадратне рівняння має вигляд

х 2+px + c = 0. (1)

Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а = 1має вигляд

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Звідси можна зробити такі висновки (за коефіцієнтами p і q можна передбачити знаки коріння).

а) Якщо зведений член qнаведеного рівняння (1) позитивний ( q > 0 ), то рівняння має два однакові за знаком кореня і це заздрості від другого коефіцієнта p. Якщо р< 0 , то обидва корені негативні, якщо р< 0 , то обидва корені позитивні.

Наприклад,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 і x 2 = 1, так як q = 2 > 0 і p = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 і x 2 = - 1, так як q = 7 > 0 і p= 8 > 0.

б) Якщо вільний член qнаведеного рівняння (1) негативний ( q < 0 ), то рівняння має два різні за знаком кореня, причому більший за модулем корінь буде позитивним, якщо p < 0 , або негативний, якщо p > 0 .

Наприклад,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 і x 2 = 1, так як q= - 5 < 0 і p = 4 > 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 і x 2 = - 1, так як q = - 9 < 0 і p = - 8 < 0.

5. СПОСІБ: Вирішення рівнянь способом «перекидання».

Розглянемо квадратне рівняння

ах 2+bх + с = 0,де а ≠ 0.

Помножуючи обидві його частини на а, отримуємо рівняння

а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Нехай ах = у, звідки х = у/а; тоді приходимо до рівняння

у 2+by+ ас = 0,

рівносильно цьому. Його коріння у 1і у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.

Остаточно отримуємо

х 1 = у 1/аі х 1 = у 2/а.

При цьому способі коефіцієнт амножиться на вільний член, як би "перекидається" до нього, тому його називають способом «перекидання». Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

приклад.

Розв'яжемо рівняння 2х 2 - 11х + 15 = 0.

Рішення.«Перекинемо» коефіцієнт 2 до вільного члена, в результаті отримаємо рівняння

у 2 - 11у + 30 = 0.

Відповідно до теореми Вієта

у 1 = 5 х 1 = 5/2x 1 = 2,5

у 2 = 6x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Відповідь: 2,5; 3.

6. СПОСІБ: Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

А. Нехай дано квадратне рівняння

ах 2+bх + с = 0,де а ≠ 0.

1) Якщо, а+b+ с = 0 (тобто сума коефіцієнтів дорівнює нулю), то х 1 = 1,

х 2 = с/а.

Доказ.Розділимо обидві частини рівняння на а ≠ 0, отримаємо наведене квадратне рівняння

x 2 + b/ a x + c/ a = 0.

Відповідно до теореми Вієта

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1 c/ a.

За умовою а –b+ с = 0,звідки b= а + с.Таким чином,

x 1 + x 2 = -а+ b/a= -1 – c/a,

x 1 x 2 = - 1 (- c/a),

тобто. х 1 = -1і х 2 =c/ a, Що м потрібно довести.

приклади.

1) Розв'яжемо рівняння 345х2 - 137х - 208 = 0.

Рішення.Так як а +b+ з = 0 (345 - 137 - 208 = 0),то

х 1 = 1, х 2 =c/ a = -208/345.

Відповідь: 1; -208/345.

2) Вирішимо рівняння 132х2 - 247х + 115 = 0.

Рішення.Так як а +b+ с = 0 (132 - 247 + 115 = 0),то

х 1 = 1, х 2 =c/ a = 115/132.

Відповідь: 1; 115/132.

Б. Якщо другий коефіцієнт b = 2 k– парне число, то формулу коріння

приклад.

Розв'яжемо рівняння 3х2 – 14х + 16 = 0.

Рішення. Маємо: а = 3,b= - 14, з = 16,k = - 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два різні корені;

В курсі математики 7 класу вперше зустрічаються з рівняннями з двома змінними, але вивчаються вони лише у контексті систем рівнянь із двома невідомими. Саме тому з поля зору випадає ціла низка завдань, у яких на коефіцієнти рівняння введено деякі умови, що їх обмежують. Крім того, залишаються поза увагою і методи вирішення завдань типу «Вирішити рівняння в натуральних чи цілих числах», хоча в матеріалах ЄДІі на вступних іспитах завдання такого роду зустрічаються дедалі частіше.

Яке рівняння називатиметься рівнянням із двома змінними?

Так, наприклад, рівняння 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 або xy = 12 є рівняннями із двома змінними.

Розглянемо рівняння 2x - y = 1. Воно звертається в правильну рівність при x = 2 і y = 3, тому ця пара значень змінних є рішенням рівняння, що розглядається.

Таким чином, рішенням будь-якого рівняння з двома змінними є безліч упорядкованих пар (x; y), значень змінних, які це рівняння перетворюють на правильну числову рівність.

Рівняння із двома невідомими може:

а) мати одне рішення.Наприклад, рівняння x2+5y2=0 має єдине рішення (0; 0);

б) мати кілька рішень.Наприклад, (5 -|x|) 2 + (|y| - 2) 2 = 0 має 4 рішення: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

в) не мати рішень.Наприклад, рівняння x 2 + y 2 + 1 = 0 немає рішень;

г) мати нескінченно багато рішень.Наприклад, x + y = 3. Розв'язаннями цього рівняння будуть числа, сума яких дорівнює 3. Безліч рішень даного рівняння можна записати у вигляді (k; 3 – k), де k – будь-яке дійсне число.

Основними методами розв'язання рівнянь із двома змінними є методи, що базуються на розкладанні виразів на множники, виділення повного квадрата, використання властивостей квадратного рівняння, обмеженості виразів, оціночні методи. Рівняння, як правило, перетворюють на вид, з якого можна отримати систему для знаходження невідомих.

Розкладання на множники

приклад 1.

Розв'язати рівняння: xy - 2 = 2x - y.

Рішення.

Групуємо складові для розкладання на множники:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. З кожної дужки винесемо спільний множник:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1) (y - 2) = 0. Маємо:

y = 2, x – будь-яке дійсне число або x = -1, y – будь-яке дійсне число.

Таким чином, відповіддю є всі пари виду (x; 2), x € R та (-1; y), y € R.

Рівність нулю невід'ємних чисел

приклад 2.

Розв'язати рівняння: 9x2+4y2+13=12(x+y).

Рішення.

Групуємо:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Тепер кожну дужку можна згорнути за формулою квадрата різниці.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Сума двох невід'ємних виразів дорівнює нулю, якщо 3x – 2 = 0 і 2y – 3 = 0.

Отже, x = 2/3 і y = 3/2.

Відповідь: (2/3; 3/2).

Оцінний метод

Приклад 3.

Розв'язати рівняння: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Рішення.

У кожній дужці виділимо повний квадрат:

((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) = 2. Оцінимо значення виразів, що стоять у дужках.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 і (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тоді ліва частина рівняння завжди не менша за 2. Рівність можлива, якщо:

(x + 1) 2 + 1 = 1 і (y - 2) 2 + 2 = 2, а значить x = -1, y = 2.

Відповідь: (-1; 2).

Познайомимося з ще одним методом розв'язання рівнянь із двома змінними другого ступеня. Цей метод у тому, що рівняння сприймається як квадратне щодо будь-якої змінної.

Приклад 4.

Розв'язати рівняння: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Рішення.

Розв'яжемо рівняння як квадратне щодо x. Знайдемо дискримінант:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Рівняння матиме рішення лише за D = 0, тобто у тому випадку, якщо y = 4. Підставляємо значення y у вихідне рівняння і знаходимо, що x = 3.

Відповідь: (3; 4).

Часто в рівняннях із двома невідомими вказують обмеження на змінні.

Приклад 5.

Розв'язати рівняння у цілих числах: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Рішення.

Перепишемо рівняння у вигляді x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Права частина отриманого рівняння при розподілі на 5 дає у залишку 2. Отже, x 2 не ділиться на 5. Але квадрат числа, що не ділиться на 5, дає у залишку 1 або 4. Таким чином, рівність неможлива і рішень немає.

Відповідь: немає коріння.

Приклад 6.

Розв'язати рівняння: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Рішення.

Виділимо повні квадрати у кожній дужці:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ліва частина рівняння завжди більша або дорівнює 3. Рівність можлива за умови |x| – 2 = 0 та y + 3 = 0. Таким чином, x = ± 2, y = -3.

Відповідь: (2; -3) та (-2; -3).

Приклад 7.

Для кожної пари цілих негативних чисел (x; y), що задовольняють рівняння
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, обчислити суму (x + y). У відповіді вказати найменшу із сум.

Рішення.

Виділимо повні квадрати:

(x 2 - 2xy + y 2) + (Y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Оскільки x і y – цілі числа, їх квадрати також цілі числа. Суму квадратів двох цілих чисел, що дорівнює 37, отримаємо, якщо складаємо 1 + 36. Отже:

(x – y) 2 = 36 та (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 та (y + 2) 2 = 36.

Вирішуючи ці системи та враховуючи, що x та y – негативні, знаходимо рішення: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Відповідь: -17.

Не варто впадати у відчай, якщо при вирішенні рівнянь з двома невідомими у вас виникають труднощі. Небагато практики, і ви зможете впоратися з будь-якими рівняннями.

Залишились питання? Не знаєте, як вирішувати рівняння із двома змінними?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, Які вирішуються по тому самому алгоритму - тому і вони і називаються найпростішими.

Для початку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке їх називати найпростішим?

Лінійне рівняння — таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

1. Розкрити дужки, якщо вони є;
2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в інший;
3. Привести подібні доданки ліворуч і праворуч від знаку рівності;
4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється нульовим. В цьому випадку можливі два варіанти:

1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливе – рівняння звелося до конструкції $0\cdot x=0$. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.

А тепер давайте подивимося, як це все працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише першою мірою.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
2. Потім звести такі
3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте практично навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливі помилки в досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або під час розкриття дужок, або підрахунку «плюсів» і «мінусів».

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі немає рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із найпростіших завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить "ікси" переносимо в один бік, а без "іксів" - в інший.
3. Наводимо подібні доданки.
4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, у ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тому пропускаємо цей етап. На другому етапі нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: йдеться лише про окремі доданки. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертого кроку: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, але вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий вже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок - ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від дуже простих завдань, то я хотів би сказати таке:

• Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
• Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль — таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана із розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть "мінус", то ми його прибираємо, проте у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого фактудозволить вам не припускатися дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до складніших рівнянь. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то у процесі перетворення всі одночлени, що містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже акуратно:

Тепер займемося усамітненням:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що дане рівняння рішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси вирішення

Обидва рівняння повністю вирішені. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак мінус. Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно все перемножити на «ікс». Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І лише після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що в низ, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми робимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що рішення рівнянь - це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко і грамотно виконувати прості дії призводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, прийде день і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще більш складних лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «ікс» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси вирішення

Найважливіше зауваження щодо цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж воно доданок, то виконується це за таким правилом: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другого; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі я хотів би нагадати учням, що таке сума алгебри. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. У алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, жодних проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Усамітнити змінні.
3. Навести такі.
4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього до алгоритму потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

1. Позбутися дробів.
2. Розкрити дужки.
3. Усамітнити змінні.
4. Навести такі.
5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми одержали остаточне рішення, переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

• Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
• Вміння розкривати дужки.
• Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функції, швидше за все в процесі подальших перетворень вони скоротяться.
• Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, бувають трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам освоїти нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!

На попередніх заняттях ми знайомилися з висловлюваннями, а також навчалися їх спрощувати та обчислювати. Тепер переходимо до більш складного та цікавого, а саме до рівнянь.

Рівняння та його коріння

Рівність, що містять змінну (-і), називаються рівняннями. Розв'язати рівняння , означає визначити значення змінної, у якому рівність буде правильним. Значення змінної називають коренем рівняння .

Рівняння можуть мати як один корінь, так і кілька або взагалі жодного.

При розв'язанні рівнянь використовуються такі властивості:

• якщо у рівнянні перенести доданок з однієї частини рівняння в іншу, помінявши при цьому знак на протилежний, то вийде рівняння рівносильне даному.
• якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме число, то вийде рівняння рівносильне даному.

Приклад №1Які з чисел: -2, -1, 0, 2, 3 є корінням рівняння:

Щоб вирішити це завдання необхідно просто по черзі підставити замість змінної x кожне з чисел і виділити ті числа, у яких рівність вважається правильним.

При "х = -2":

\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)

\(4=4 \) - рівність вірна, значить (-2) - корінь нашого рівняння

При "х = -1"

\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)

\(1=7 \) - рівність невірна, тому (-1) - не є коренем рівняння

\(0^2=10-3 \cdot 0 \)

\(0=10 \) - рівність невірна, тому 0 не є коренем рівняння

\(2^2=10-3 \cdot 2 \)

\(4=4 \) - рівність вірна, значить 2 - корінь нашого рівняння

\(3^2=10-3 \cdot 3 \)

\(9=1 \) - рівність невірна, тому 3 не є коренем рівняння

Відповідь: із представлених чисел, корінням рівняння \(x^2=10-3x \) є числа -2 та 2.

Лінійне рівняння з однією змінною - це рівняння виду ax = b, де x – змінна, а a та b – деякі числа.

Існує велика кількість видів рівнянь, але вирішення багатьох зводиться саме до вирішення лінійних рівнянь, тому знання цієї теми обов'язково для подальшого навчання!

Приклад №2Розв'язати рівняння: 4(x+7) = 3-x

Для вирішення даного рівняння, в першу чергу, потрібно позбавитися дужки, а для цього домножимо на 4 кожне з доданків у дужці, отримуємо:

4х + 28 = 3 - х

Тепер потрібно перенести всі значення з «х» в один бік, а все інше в інший бік (не забуваючи міняти знак на протилежний), отримуємо:

4х + х = 3 – 28

Тепер віднімаємо значення ліворуч і праворуч:

Щоб знайти невідомий множник (х) потрібно твір (25) поділити на відомий множник (5):

Відповідь х = -5

Якщо сумніваєтеся у відповіді можна перевірити, підставивши отримане значення наше рівняння замість х:

4(-5+7) = 3-(-5)

8 = 8 - рівняння вирішено правильно!

Вирішити тепер щось складніше:

Приклад №3Знайти коріння рівняння: \((y+4)-(y-4)=6y \)

Насамперед, також позбудемося дужок:

Відразу бачимо в лівій частині y та -y, а значить їх можна просто викреслити, а отримані числа просто скласти, і записати вираз:

Тепер можна перенести значення з «y» у ліву сторону, а значення з числами у праву. Але ж це не обов'язково, адже не важливо, з якого боку перебувають змінні, головне, щоб вони були без чисел, а отже, нічого переносити не будемо. Але для тих хто не зрозумів, то зробимо, як говорить правило і розділимо обидві частини на (-1), як свідчить властивість:

Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір розділити на відомий множник:

\(y=\frac(8)(6) = \frac(4)(3) = 1\frac(1)(3) \)

Відповідь: y = \(1\frac(1)(3) \)

Також можна перевірити відповідь, але зробіть це самостійно.

Приклад №4\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

Тепер я просто вирішу, без пояснень, а ви подивіться на хід рішення та правильний запис розв'язків рівнянь:

\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

\(0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6\)

\(0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6\)

\(x=\frac(7,8)(-5,2)=\frac(3)(-2) =-1,5 \)

Відповідь: x = -1,5

Якщо щось не зрозуміло під час вирішення пишіть у коментарях

Розв'язання задач за допомогою рівнянь

Знаючи що таке рівняння і навчившись їх обчислювати - ви також відкриваєте собі доступ до розв'язання багатьох завдань, де для вирішення використовуються саме рівняння.

Не вдаватимуся в теорію, краще показати все і відразу на прикладах

Приклад №5У кошику було вдвічі менше яблук, ніж у ящику. Після того, як із кошика переклали в ящик 10 яблук, у ящику їх стало в 5 разів більше, ніж у кошику. Скільки яблук було у кошику, а скільки у ящику?

Насамперед потрібно визначити, що ми приймемо за «х», в даному завдання можна прийняти і ящики, і кошики, але я візьму яблука в кошику.

Значить, нехай у кошику було х яблук, тому що в ящику яблук було вдвічі більше, то візьмемо це за 2х. Після того, як із кошика яблука переклали в ящик у кошику яблук стало: х – 10, а значить, у ящику стало – (2х + 10) яблук.

Тепер можна скласти рівняння:

5(х-10) – у ящику стало в 5 разів більше яблук, ніж у кошику.

Прирівняємо перше значення і друге:

2x+10 = 5(x-10) і вирішуємо:

2х + 10 = 5х - 50

2х - 5х = -50 - 10

х = -60/-3 = 20 (яблук) - у кошику

Тепер, знаючи скільки яблук було в кошику, знайдемо скільки яблук було в ящику - оскільки їх було вдвічі більше, то результат помножимо на 2:

2*20 = 40 (яблук) – у ящику

Відповідь: у ящику – 40 яблук, а в кошику – 20 яблук.

Я розумію, що багато хто з вас, можливо, не до кінця розібрався у вирішенні завдань, але запевняю до цієї теми ми повернемося і ще не раз на наших уроках, а поки якщо у вас залишилися питання - ставте їх у коментарях.

Насамкінець ще кілька прикладів на вирішення рівнянь

Приклад №6\(2x - 0,7x = 0\)

Приклад №7\(3p - 1 -(p+3) = 1 \)

Приклад №8\(6y-(y-1) = 4+5y \)

\(6y-y+1=4+5y \)

\(6y-y-5y=4-1 \)

\(0y=3 \) - коріння немає, т.к. на нуль ділити не можна!

Всім дякую за увагу. Якщо щось незрозуміло запитуйте у коментарях.

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!

Звернення автора до цієї теми не є випадковим. Рівняння із двома змінними вперше зустрічаються в курсі 7-го класу. Одне рівняння з двома змінними має безліч рішень. Це демонструє графік лінійної функції, заданий у вигляді ax + by=c. У шкільному курсі учні вивчають системи двох рівнянь із двома змінними. В результаті з поля зору вчителя і тому учня випадає цілий ряд завдань, з обмеженими умовами на коефіцієнт рівняння, а також методи їх вирішення.

Йдеться вирішенні рівняння з двома невідомими у цілих чи натуральних числах.

У школі натуральні та цілі числа вивчаються у 4-6-х класах. На момент закінчення школи в повному обсязі учні пам'ятають різницю між множинами цих чисел.

Проте завдання типу “вирішити рівняння виду ax + by=c у цілих числах” дедалі частіше зустрічається на вступних іспитах до ВНЗ та у матеріалах ЄДІ.

Розв'язання невизначених рівнянь розвиває логічне мислення, кмітливість, аналізувати увагу.

Я пропоную розробку кількох уроків на цю тему. Я не маю однозначних рекомендацій щодо термінів проведення цих уроків. Окремі елементи можна використовувати і у 7-му класі (для сильного класу). Дані уроки можна взяти за основу і розробити невеликий курс по підпрофільній підготовці в 9-му класі. І, звичайно, цей матеріал можна використовувати у 10-11 класах для підготовки до іспитів.

Мета уроку:

• повторення та узагальнення знань на тему “Рівняння першого та другого порядку”
• виховання пізнавального інтересу до навчального предмета
• формування умінь аналізувати, проводити узагальнення, переносити знання у нову ситуацію

Урок 1.

Хід уроку.

1) Орг. момент.

2) Актуалізація опорних знань.

Визначення. Лінійним рівнянням із двома змінними називається рівняння виду

mx + ny = k, де m, n, k – числа, x, y – змінні.

Приклад: 5x+2y=10

Визначення. Рішенням рівняння з двома змінними називається пара значень змінних, що обертає це рівняння у правильну рівність.

Рівняння з двома змінними, що мають одні й самі рішення, називаються рівносильними.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Це рівняння може мати скільки завгодно рішень. Для цього достатньо взяти будь-яке значення x та знайти відповідне йому значення y.

Нехай x = 2, y = -2.5 2+6 = 1

x = 4, y = -2.5 4+6 = - 4

Пари чисел (2; 1); (4;-4) – рішення рівняння (1).

Це рівняння має безліч рішень.

3) Історична довідка

Невизначені (діофантові) рівняння - це рівняння, що містять більше однієї змінної.

У ІІІ ст. н.е. - Діофант Олександрійський написав "Арифметику", в якій розширив безліч чисел до раціональних, ввів символіку алгебри.

Так само Діофант розглянув проблеми розв'язання невизначених рівнянь та їм дано методи розв'язання невизначених рівнянь другого та третього ступеня.

4) Вивчення нового матеріалу.

Визначення: Неоднорідним діофантовим рівнянням першого порядку з двома невідомими x, y називається рівняння виду mx + ny = k де m, n, k, x, y Z k0

Твердження 1.

Якщо вільний член k у рівнянні (1) не поділяється на найбільший спільний дільник (НД) чисел m і n, то рівняння (1) не має цілих рішень.

Приклад: 34x - 17y = 3.

НОД (34; 17) = 17, 3 не ділиться націло на 17, у цілих числах рішення немає.

Нехай k поділяється на НОД (m, n). Поділом всіх коефіцієнтів можна домогтися, що m і n стануть взаємно простими.

Твердження 2.

Якщо m і n рівняння (1) взаємно прості числа, Це рівняння має принаймні одне рішення.

Твердження 3.

Якщо коефіцієнти m і n рівняння (1) є взаємно простими числами, це рівняння має нескінченно багато рішень:

Де (; ) – будь-яке рішення рівняння (1), t Z

Визначення. Однорідним діофантовим рівнянням першого порядку з двома невідомими x, y називається рівняння виду mx + ny = 0 де (2)

Твердження 4.

Якщо m і n – взаємно прості числа, то будь-яке рішення рівняння (2) має вигляд

5) Домашнє завдання. Розв'язати рівняння у цілих числах:

1. 9x - 18y = 5
2. x + y= xy
3. Декілька дітей збирали яблука. Кожен хлопчик зібрав по 21 кг, а дівчинка – по 15 кг. Усього вони зібрали 174 кг. Скільки хлопчиків та скільки дівчаток збирали яблука?

Зауваження. На цьому уроці не представлені приклади розв'язання рівнянь у цілих числах. Тому домашнє завдання діти вирішують виходячи із затвердження 1 та підбором.

Урок 2

1) Організаційний момент

2) Перевірка домашнього завдання

1) 9x - 18y = 5

5 не ділиться націло на 9, у цілих числах рішень немає.

Методом підбору можна знайти рішення

Відповідь: (0; 0), (2; 2)

3) Складемо рівняння:

Нехай хлопчиків x, x Z, а дівчаток у, y Z, можна скласти рівняння 21x + 15y = 174

Багато учнів, склавши рівняння, не зможуть його вирішити.

Відповідь: хлопчиків 4, дівчаток 6.

3) Вивчення нового матеріалу

Зіткнувшись із труднощами і під час домашнього завдання, учні переконалися у необхідності вивчення їх методів рішень невизначених рівнянь. Розглянемо деякі з них.

I. Метод розгляду залишків від розподілу.

приклад. Розв'язати рівняння у цілих числах 3x – 4y = 1.

Ліва частина рівняння ділиться на 3, отже повинна ділитися і права частина. Розглянемо три випадки.

Відповідь: де m Z.

Описаний метод зручно застосовувати у разі, якщо числа m і n не малі, зате розкладаються на прості співмножники.

Приклад: Розв'язати рівняння у цілих числах.

Нехай y = 4n, тоді 16 - 7y = 16 - 74n = 16 - 28n = 4 * (4-7n) ділиться на 4.

y = 4n+1, тоді 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 1) = 16 - 28n - 7 = 9 - 28n не ділиться на 4.

y = 4n+2, тоді 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 2) = 16 - 28n - 14 = 2 - 28n не ділиться на 4.

y = 4n+3, тоді 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 3) = 16 - 28n - 21 = -5 - 28n не ділиться на 4.

Отже, y = 4n, тоді

4x = 16 - 7 4n = 16 - 28n, x = 4 - 7n

Відповідь: де n Z.

ІІ. Невизначені рівняння 2-го ступеня

Сьогодні на уроці ми лише торкнемося вирішення діофантових рівнянь другого порядку.

І з усіх типів рівнянь розглянемо випадок, коли можна застосувати формулу різниці квадратів чи інший спосіб розкладання на множники.

Приклад: Вирішити рівняння у цілих числах.

13 – просте число, тому воно може бути розкладене на множники лише чотирма способами: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1) (-13) = (-13) (-1)

Розглянемо ці випадки

Відповідь: (7; -3), (7; 3), (-7; 3), (-7; -3).

4) Домашнє завдання.

приклади. Розв'язати рівняння у цілих числах:

(x - y) (x + y) = 4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	не підходить	не підходить
2x = -4	не підходить	не підходить
x = -2
y = 0

Відповідь: (-2; 0), (2; 0).

Відповіді: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10; -9).

в)

Відповідь: (2; -3), (-1; -1), (-4; 0), (2; 2), (-1; 3), (-4; 5).

Підсумки. Що означає розв'язати рівняння у цілих числах?

Які методи розв'язання невизначених рівнянь ви знаєте?

Додаток:

Вправи для тренування.

1) Вирішіть у цілих числах.

а) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 - 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 - 4n, n Z
г) 9x - 2y = 1	x = 1 - 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x - 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x - 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x - 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x - 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Знайти цілі невід'ємні рішення рівняння:

Рішення: Z (2; -1)

Література.

1. Дитяча енциклопедія "Педагогіка", Москва, 1972 р.
2. Алгебра-8, Н.Я. Віленкін, ВО "Наука", Новосибірськ, 1992 р.
3. Конкурсні завдання, що ґрунтуються на теорії чисел. В.Я. Галкін, Д.Ю. Сичугів. МДУ, ВМК, Москва, 2005р.
4. Завдання підвищеної складності у курсі алгебри 7-9 класів. Н.П. Косрикіна. "Освіта", Москва, 1991 р.
5. Алгебра 7, Макарічев Ю.Н., "Освіта".