У геометрії усіченим конусом називається тіло, яке утворене обертанням прямокутної трапеції біля тієї її бічної сторони, яка перпендикулярна до основи. Як розраховують обсяг усіченого конуса, всім відомо з шкільного курсу геометрії, але в практиці ці знання нерідко застосовують конструктори різних машин і механізмів, розробники деяких товарів народного споживання, і навіть архітектори.

Розрахунок обсягу усіченого конуса

Формула розрахунку обсягу усіченого конуса

Обсяг усіченого конуса розраховується за такою формулою:

V

πh (R 2 + R × r + r 2)

h- Висота конуса

r- радіус верхньої основи

R- радіус нижньої основи

V- обсяг усіченого конуса

π - 3,14

З такими геометричними тілами, як усічені конуси, в повсякденному життівсі стикаються досить часто, якщо не сказати – постійно. Їх форму мають найрізноманітніші ємності, що широко використовуються в побуті: цебра, склянки, деякі чашки. Зрозуміло, що конструктори, які їх розробляли, напевно використовували формулу, за якою розраховується обсяг усіченого конусаоскільки ця величина має в даному випадку дуже велике значення, адже саме вона визначає таку найважливішу характеристику, як ємність виробу.

Інженерні споруди, що є усічені конуси, часто можна побачити на великих промислових підприємствах, а також теплових і атомних електростанціях. Саме таку форму мають градирні - пристрої, призначені для того, щоб охолоджувати великі об'єми води за допомогою нагнітання потоку зустрічного атмосферного повітря. Найчастіше ці конструкції використовуються в тих випадках, коли потрібно стислі термінизначно знизити температуру великої кількості рідини. Розробниками цих споруд обов'язково визначається обсяг усіченого конусаформула для обчислення якого є досить простою і відома всім тим, хто свого часу добре навчався в середній школі.

Деталі, що мають цю геометричну форму, часто зустрічаються в конструкції різних технічних пристроїв. Наприклад, зубчасті передачі, що використовуються в системах, де потрібно змінити напрямок кінетичної передачі, найчастіше реалізуються за допомогою конічних шестерень. Ці деталі є невід'ємною частиною найрізноманітніших редукторів, а також автоматичних і механічних коробокперемикання передач, що використовуються у сучасних автомобілях.

Форму усіченого конуса мають деякі ріжучі інструменти, що широко застосовуються на виробництві, наприклад, фрези. З їхньою допомогою можна обробляти похилі поверхні під певним кутом. Для заточування різців металообробного та деревообробного обладнання часто використовуються абразивні круги, що також являють собою усічені конуси. Крім того, обсяг усіченого конусапотрібно визначати конструкторам токарних та фрезерних верстатів, які припускають кріплення ріжучого інструменту, оснащеного конічними хвостовиками (свердлів, розгорток тощо).

Серед різноманіття геометричних тіл одним із найцікавіших є конус. Утворюється він шляхом обертання прямокутного трикутника навколо одного зі своїх катетів.

Як знайти обсяг конуса – основні поняття

Перш ніж розпочати обчислення обсягу конуса, варто ознайомитися з основними поняттями.

• Круговий конус – основою такого конуса є коло. Якщо в основі лежить еліпс, парабола чи гіпербола, то фігури називаються еліптичним, параболічним чи гіперболічним конусом. Варто пам'ятати, що два останні види конуса мають нескінченний об'єм.
• Усічений конус – частина конуса, розташована між основою та площиною, паралельною цій підставі, що знаходиться між вершиною та основою.
• Висота – перпендикулярний до основи відрізок, випущений з вершини.
• Утворююча конуса – відрізок, що з'єднує межу основи та вершину.

Об'єм конуса

Для розрахунку обсягу конуса застосовується формула V=1/3*S*H, де S – площа основи, H – висота. Оскільки основа конуса – коло, його площа перебуває у формулі S= nR^2, де n = 3,14, R – радіус кола.

Буває ситуація, коли невідомі якісь із параметрів: висота, радіус чи твірна. У такому разі варто вдатися до теореми Піфагора. Осьовим перетином конуса є рівнобедрений трикутник, що складається з двох прямокутний трикутник, де l – гіпотенуза, а H та R – катети. Тоді l=(H^2+R^2)^1/2.

Об'єм усіченого конуса

Усічений конус є конусом з обрізаною верхівкою.

Щоб знайти обсяг такого конуса, знадобиться формула:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

де n = 3.14, r - радіус кола перерізу, R - радіус великої основи, H - висота.

Осьовим перетином усіченого конуса буде рівнобедрена трапеція. Тому, якщо необхідно знайти довжину утворює конуса або радіуса одного з кіл, варто застосовувати формули для знаходження бічних сторін і підстав трапеції.

Знайти обсяг конуса, якщо його висота дорівнює 8 див, радіус основи 3 див.

Дано: H = 8 див, R = 3 див.

Спочатку знайдемо площу основи, застосувавши формулу S=nR^2.

S=3.14*3^2=28.26 см^2

Тепер за формулою V=1/3*S*H знаходимо об'єм конуса.

V=1/3*28.26*8=75.36 см^3

Фігури у формі конуса зустрічаються всюди: паркувальні конуси, башти будівель, абажур світильника. Тому знання, як знайти обсяг конуса, часом може стати у нагоді як у професійному, так і в повсякденному житті.

Введіть висоту та радіуси основ:

Визначення усіченого конуса

Усічений конус можна отримати зі звичайного конуса, якщо перетнути такий конус площиною, паралельною основі. Тоді та фігура, яка знаходиться між двома площинами (ці площиною і основа звичайного конуса) і називатиметься усіченим конусом.

У нього є дві підстави, які для кругового конуса є колами, причому один з них більший за інший. Також усічений конус має висоту- відрізок, що з'єднує дві основи та перпендикулярний кожному з них.

Онлайн-калькулятор

Усічений конус може бути прямим, Тоді у нього центр однієї основи проектується в центр другого. Якщо конус похилий, то таке проектування немає місця.

Розглянемо прямий круговий конус. Обсяг цієї фігури можна розрахувати декількома способами.

Формула об'єму усіченого конуса через радіуси основ та відстань між ними

Якщо нам дано круговий зрізаний конус, то знайти його обсяг можна за формулою:

Об'єм усіченого конуса

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\) cdot r_2+r_2^2)V =3 1 ​ ⋅ π ⋅ h ⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ )

R 1 , r 2 r_1, r_2 r 1 ​ , r 2 ​ - радіуси основ конуса;
h h h- відстань між цими основами (висота усіченого конуса).

Розглянемо приклад.

Завдання 1

Знайдіть обсяг усіченого конуса, якщо відомо, що площа малої основи дорівнює 64 π см 2 64\pi\text( см)^26 4 π см2 , великого - 169 π см 2 169\pi\text( см)^21 6 9 π см2 , А висота його дорівнює 14 см 14\text( см) 1 4 см.

Рішення

S 1 = 64 π S_1=64\pi S 1 ​ = 6 4 π
S 2 = 169 π S_2=169\pi S 2 ​ = 1 6 9 π
h = 14 h = 14 h =1 4

Знайдемо радіус малої основи:

S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2S 1 ​ = π ⋅ r 1 2 ​

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 π =π ⋅ r 1 2 ​

64 = r 1 2 64 = r_1 ^ 2 6 4 = r 1 2 ​

R 1 = 8 r_1 = 8 r 1 ​ = 8

Аналогічно, для великої основи:

S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2S 2 ​ = π ⋅ r 2 2 ​

169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9 π =π ⋅ r 2 2 ​

169 = r 2 2 169 = r_2 ^ 2 1 6 9 = r 2 2 ​

R 2 = 13 r_2 = 13 r 2 ​ = 1 3

Обчислимо обсяг конуса:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 49 \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\approx4938\text( см)^3V =3 1 ​ ⋅ π ⋅ h ⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 см3

Відповідь

4938 см 3 . 4938\text( см) ^3.4 9 3 8 см3 .

Формула об'єму усіченого конуса через площі основ та їх відстань до вершини

Нехай у нас є усічений конус. Подумки додамо до нього шматок, тим самим роблячи з нього “звичайний конус” з вершиною. Тоді обсяг усіченого конуса можна знайти як різницю обсягів двох конусів з відповідними основами та їх відстанню (висотою) до вершини конуса.

Об'єм усіченого конуса

V = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3) \ cdot s \ cdot h = \ frac (1) (3) \ cdot (S \ cdot Hs \ cdot h)V =3 1 ​ ⋅ S ⋅H −3 1 ​ ⋅ s ⋅h =3 1 ​ ⋅ (S ⋅H −s ⋅h)

S S S- площа основи великого конуса;
H H H- Висота цього (великого) конуса;
s s s- площа основи малого конуса;
h h h- Висота цього (малого) конуса;

Завдання 2

Визначте об'єм усіченого конуса, якщо висота повного конуса H H Hдорівнює 10 см 10\text( см) 1 0 см, радіус нижньої основи R RR - 5 см 5\text( см)5 см, верхнього r rr - 4 см 4\text( см)4 см, А висота усіченого конуса - 8 см 8\text( см)8 см.

Рішення

R = 5 R = 5R= 5
r = 4 r=4r= 4
H = 10 H = 10H= 1 0
H − h = 8 H-h=8H− h= 8 ,
де h hh- Висота малого конуса.

Знайдемо площі обох основ конуса:

$S=\pi \cdot R^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$s=\pi \cdot r^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

Знайдемо висоту малого конуса h hh:

$H-h=8$

$h=H-8$

$h=10-8$

$h=2$

Об'єм дорівнює за формулою:

$V=31\cdot (S\cdot H-s\cdot h)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{см3}$

Відповідь

$228\text{см3 .}$

Розгортка поверхні конуса - це плоска фігура, отримана шляхом поєднання бічної поверхні та підстави конуса з деякою площиною.

Варіанти побудови розгортки:

Розгорнення прямого кругового конуса

Розгортка бічної поверхні прямого кругового конуса є круговий сектор, радіус якого дорівнює довжині утворюючої конічної поверхні l, а центральний кут φ визначається за формулою φ=360*R/l, де R – радіус кола основи конуса.

У ряді завдань накреслювальної геометрії переважним рішенням є апроксимація (заміна) конуса вписаної в нього пірамідою і побудова наближеної розгортки, на яку зручно наносити лінії, що лежать на конічній поверхні.

Алгоритм побудови

1. Вписуємо у конічну поверхню багатокутну піраміду. Чим більше бічних граней у вписаної піраміди, тим точніше відповідність між дійсною та наближеною розгорткою.
2. Будуємо розгорнення бічної поверхні піраміди способом трикутників. Крапки, що належать основі конуса, з'єднуємо плавною кривою.

Приклад

На малюнку нижче в прямий круговий конус вписано правильну шестикутну піраміду SABCDEF, і наближена розгортка його бічної поверхні складається з шести рівнобедрених трикутників – граней піраміди.

Розглянемо трикутник S0A0B0. Довжини його сторін S 0 A 0 і S 0 B 0 рівні утворює конічної поверхні. Розмір A 0 B 0 відповідає довжині A’B’. Для побудови трикутника S 0 A 0 B 0 у довільному місці креслення відкладаємо відрізок S 0 A 0 =l, після чого з точок S 0 і A 0 проводимо кола радіусом S 0 B 0 =l та A 0 B 0 = A'B' відповідно. З'єднуємо точку перетину кіл B 0 з точками A 0 і S 0 .

Грані S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 піраміди SABCDEF будуємо аналогічно трикутнику S 0 A 0 B 0 .

Точки A, B, C, D, E і F, що лежать в основі конуса, з'єднуємо плавною кривою – дугою кола, радіус якого дорівнює l.

Розгорнення похилого конуса

Розглянемо порядок побудови розгорнення бічної поверхні похилого конуса шляхом апроксимації (наближення).

Алгоритм

1. Вписуємо в коло основи конуса шестикутник 123456. З'єднуємо точки 1, 2, 3, 4, 5 і 6 з вершиною S. Піраміда S123456, побудована таким чином, з деяким ступенем наближення є заміною конічної поверхні і використовується в цій якості у подальших побудовах.
2. Визначаємо натуральні величини ребер піраміди, використовуючи спосіб обертання навколо прямої, що проеціює: у прикладі використовується вісь i, перпендикулярна горизонтальній площині проекцій і проходить через вершину S.
   Так, в результаті обертання ребра S5 його нова горизонтальна проекція S5'1 займає положення, при якому вона паралельна фронтальній площині π 2 . Відповідно, S''5'' 1 – натуральна величина S5.
3. Будуємо розгортку бічної поверхні піраміди S123456, що складається з шести трикутників: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , 0 1 0 . Побудова кожного трикутника виконується з трьох сторін. Наприклад, у ΔS 0 1 0 6 0 довжина S 0 1 0 =S''1'' 0 , S 0 6 0 =S''6'' 1 , 1 0 6 0 =1'6'.

Ступінь відповідності наближеної розгортки дійсної залежить кількості граней вписаної піраміди. Число граней вибирають, виходячи із зручності читання креслення, вимог до його точності, наявності характерних точок та ліній, які потрібно перенести на розгортку.

Перенесення лінії з поверхні конуса на розгортку

Лінія n, що лежить на поверхні конуса, утворена в результаті перетину з деякою площиною (рисунок нижче). Розглянемо алгоритм побудови лінії n розгортці.

Алгоритм

1. Знаходимо проекції точок A, B і C, в яких лінія n перетинає ребра, вписаної в конус піраміди S123456.
2. Визначаємо натуральну величину відрізків SA, SB, SC способом обертання навколо прямої, що проектує. У аналізованому прикладі SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1 .
3. Знаходимо положення точок A 0 , B 0 , C 0 на відповідних їм ребрах піраміди, відкладаючи на розгортці відрізки S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. З'єднуємо точки A0, B0, C0 плавною лінією.

Розгорнення усіченого конуса

Описуваний нижче спосіб побудови розгорнення прямого кругового конуса заснований на принципі подібності.

Замість слова «викройка» іноді вживають «розгортка», проте цей термін неоднозначний: наприклад, розгорткою називають інструмент збільшення діаметра отвору, й у електронної техніці існує поняття розгортки. Тому, хоч і зобов'язаний використати слова «розгортка конуса», щоб пошукові системи і з них знаходили цю статтю, але користуватися буду словом «викройка».

Побудова викрійки для конуса – справа нехитра. Розглянемо два випадки: для повного конуса та для усіченого. На зображенні (Клікніть, щоб збільшити)показані ескізи таких конусів та їх викрійок. (Відразу зауважу, що тут йтиметься лише про прямі конуси з круглою основою. Конуси з овальною основою і похилі конуси розглянемо в наступних статтях).

1. Повний конус

Позначення:

Параметри форми розраховуються за формулами:
;
;
де .

2. Усічений конус

Позначення:

Формули для обчислення параметрів викрійки:
;
;
;
де .
Зауважимо, що ці формули підійдуть і для конуса, якщо ми підставимо в них .

Іноді при побудові конуса важливим є значення кута при його вершині (або при уявній вершині, якщо конус усічений). Найпростіший приклад - коли потрібно, щоб один конус щільно входив до іншого. Позначимо цей кут буквою (див. картинку).
У цьому випадку ми можемо використовувати його замість одного з трьох вхідних значень: , або . Чому «разом про", а не" замість е«? Тому що для побудови конуса достатньо трьох параметрів, а значення четвертого визначається через значення трьох інших. Чому саме трьох, а не двох і не чотирьох — питання, яке виходить за межі цієї статті. Таємничий голос мені підказує, що це пов'язано з тривимірністю об'єкта «конус». (Порівняйте з двома вихідними параметрами двовимірного об'єкта «сегмент кола», за якими ми обчислювали решту його параметрів у статті .)

Нижче наведені формули, якими визначається четвертий параметр конуса, коли задані три.

4. Методи побудови викрійки

• Обчислити значення на калькуляторі та побудувати викрійку на папері (або відразу на металі) за допомогою циркуля, лінійки та транспортира.
• Занести формули та вихідні дані до електронної таблиці (наприклад, Microsoft Exel). Отриманий результат використовуватиме побудови викройки з допомогою графічного редактора (наприклад, CorelDRAW).
• використовувати мою програму, яка намалює на екрані і виведе на друк викройку для конуса із заданими параметрами. Цю форму можна зберегти у вигляді векторного файлу і імпортувати в CorelDRAW.

5. Не паралельні підстави

Що стосується усічених конусів, то програма Cones поки що будує викрійки для конусів, що мають лише паралельні основи.
Для тих, хто шукає спосіб побудови викрійки усіченого конуса з не паралельними основами, наводжу посилання, надане одним із відвідувачів сайту:
Усічений конус з не паралельними основами.