Прямокутним трикутником називається трикутник, у якого один із кутів дорівнює 90°. Його площу можна знайти, якщо відомі два катети. Можна, звичайно, піти і довгим шляхом - знайти гіпотенузу і прорахувати площу, але в більшості випадків це тільки займе зайвий час. Саме тому формула площі прямокутного трикутника має такий вигляд:

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів.

Приклад розрахунку площі прямокутного трикутника.
Даний прямокутний трикутник із катетами a= 8 см, b= 6 див.
Обчислюємо площу:
Площа дорівнює: 24 см 2

Також у прямокутному трикутнику застосовується теорема Піфагора. - Сума квадратів двох катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.
Формула площі рівнобедреного прямокутного трикутника обчислюється як і звичайного прямокутного трикутника.

Приклад розрахунку площі рівнобедреного прямокутного трикутника:
Даний трикутник із катетами a= 4 см, b= 4 см. Обчислюємо площу:
Обчислюємо площу:=8 см 2

Формула площі прямокутного трикутника з гіпотенузи може використовуватися, якщо за умови дано один катет. З теореми Піфагора знаходимо довжину невідомого катета. Наприклад, дана гіпотенуза cта катет a, катет bбуде дорівнює:
Далі обчислюємо площу за звичайною формулою. Приклад розрахунку формули площі прямокутного трикутника з гіпотенузи ідентичний описаному вище.

Розглянемо цікаве завдання, яке допоможе закріпити знання формул на вирішення трикутника.
Завдання: площа прямокутного трикутника дорівнює 180 кв. див. знайдіть менший катет трикутника, якщо він менший за другий на 31 см.
Рішення: позначимо катети aі b. Тепер підставимо дані у формулу площі: ще ми знаємо, що один катет менший за інший a – b= 31 см
З першої умови отримуємо, що
Підставляємо цю умову в друге рівняння:

Оскільки ми знаходили сторони, то знак мінус прибираємо.
Виходить, що катет a= 40 см, а b= 9 див.

На уроках геометрії в середній школі всім нам говорили про трикутник. Однак у рамках шкільної програми ми отримуємо лише найнеобхідніші знання та вчимося найбільш поширеним та стандартним способам обчислень. Чи існують незвичайні засоби знаходження цієї величини?

Як запровадження згадаємо, який трикутник вважається прямокутним, і навіть позначимо поняття площі.

Прямокутним трикутником називають замкнуту геометричну фігуру, один із кутів якої дорівнює 90 0 . Невід'ємними поняттями у визначенні є катети та гіпотенуза. Під катетами мають на увазі дві сторони, які у точці з'єднання утворюють прямий кут. Гіпотенуза – сторона, протилежна прямому куту. Прямий трикутник може бути рівнобедреним (дві його сторони матимуть однакову величину), але ніколи не буде рівностороннім (всі сторони однієї довжини). Визначення висоти, медіани, векторів та інших математичних термінів докладно не розбиратимемо. Їх легко знайти у довідниках.

Площа прямого трикутника. На відміну від прямокутників, правило про

творі сторін у визначенні діє. Якщо говорити сухою мовою термінів, то під площею трикутника розуміють властивість цієї фігури займати частину площини, виражену числом. Досить складно до сприйняття, погодьтеся. Не намагатимемося глибоко вникнути у визначення, наша мета не в цьому. Перейдемо до головного – як знайти площу прямокутного трикутника? Самі обчислення робити не будемо, зазначимо лише формули. Для цього визначимося з позначеннями: A, B, C – сторони трикутника, катети – AB, BC. Кут ACB – прямий. S – площа трикутника, h n n – висота трикутника, де nn – сторона, на яку вона опущена.

Спосіб 1. Як знайти площу прямокутного трикутника, якщо відома величина його катетів

Спосіб 2. Знаходимо площу рівнобедреного прямокутного трикутника

Спосіб 3. Обчислення площі через прямокутник

Добудовуємо прямокутний трикутник до квадрата (якщо трикутник

рівнобедрений) або прямокутника. Отримаємо простий чотирикутник, що складається з 2-х ідентичних прямокутних трикутників. У цьому випадку значення площі одного з них дорівнює половині площі отриманої фігури. S прямокутника обчислюємо добутком сторін. Позначимо цю величину M. Шукане значення площі дорівнює половині M.

Спосіб 4. «Піфагорові штани». Знаменита теорема Піфагора

Ми всі пам'ятаємо її формулювання: «Сума квадратів катетів ...». Але не всі можуть

сказати, причому тут деякі «штани». Справа в тому, що спочатку Піфагор вивчав взаємозв'язок побудованих на сторонах прямого трикутника. Виявивши закономірності у співвідношенні сторін квадратів, він зміг вивести і відому нам формулу. Її можна застосовувати у разі, коли невідома величина однієї із сторін.

Спосіб 5. Як знайти площу прямокутного трикутника за формулою Герона

Також досить простий спосіб розрахунку. Формула передбачає вираз площі трикутника через числові значення його сторін. Для розрахунків потрібно знати величини всіх сторін трикутника.

S = (p-AC) * (p-BC), де p = (AB + BC + AC) * 0.5

Крім наведених, існує безліч інших способів знайти величину такої загадкової фігури, як трикутник. Серед них: обчислення методом вписаного або описаного кола, обчислення за допомогою координат вершин, використання векторів абсолютної величини, синусів, тангенсів.

Трикутник – плоска геометрична фігура з одним кутом, рівним 90°. При цьому в геометрії дуже часто потрібно обчислити площу такої фігури. Як це зробити, ми розповімо далі.

Найпростіша формула визначення площі прямокутного трикутника

Вихідні дані, де: a та b – сторони трикутника, що виходять із прямого кута.

Тобто площа дорівнює половині твору двох сторін, які виходять із прямого кута. Звичайно, існує формула Герона, яка використовується для обчислення площі звичайного трикутника, але для визначення величини необхідно знати довжину трьох сторін. Відповідно, вам доведеться розрахувати гіпотенузу, а це зайвий час.

Знайти площу прямокутного трикутника через формулу Герона

Це всім відома та вихідна формула, але для цього вам доведеться порахувати гіпотенузу за двома катетами, використовуючи Теорему Піфагора.

У цій формулі: a, b, c – сторони трикутника, а p – напівпериметр.

Знайти площу прямокутного трикутника з гіпотенузи та кута

Якщо у вашому завданні не відомий жоден з катетів, то скористатися самим простим способомви не зможете. Для визначення величини потрібно розрахувати довжину катетів. Це зробити просто з гіпотенузи та косінусу прилеглого кута.

b=c×cos(α)

Дізнавшись довжину одного з катетів, за теоремою Піфагора ви зможете розрахувати другий бік, що виходить із прямого кута.

b 2 =c 2 -a 2

У цій формулі c і a – гіпотенуза та катет відповідно. Тепер можете розрахувати площу за першою формулою. Так само можна обчислити один з катетів, маючи другий і кут. У такому разі одна з шуканих сторін дорівнюватиме добутку катета на тангенс кута. Існують і інші способи обчислення площі, але знаючи основні теореми та правила, ви зможете легко знайти потрібну величину.

Якщо у вас немає жодної зі сторін трикутника, а є лише медіана та один із кутів, то ви зможете обчислити довжину сторін. Для цього використовуйте властивості медіани ділити прямокутний трикутник на два. Відповідно, вона може бути гіпотенузою, якщо виходить з гострого кута. Скористайтеся теоремою Піфагора та визначте довжину сторін трикутника, що виходять із прямого кута.

Як бачите, знаючи основні формули і Теорему Піфагора, ви зможете розрахувати площу прямокутного трикутника, маючи лише один із кутів та довжину однієї зі сторін.