Залежність між моментами інерції при паралельному перенесенні осей і повороті осей.

При паралельному перенесенні осей:

Якщо S x і S y дорівнюють нулю, тоді: ;

При повороті осей:

та для відцентрового моменту інерції:

Основні осі, основні моменти інерції. Визначення напряму основних осей. Визначення значення основних моментів інерції.

Осі, щодо яких відцентровий момент інерції перерізу перетворюється на нуль, називаються головним осями. Моменти інерції щодо основних осей інерції називаються головними моментами інерції перерізу. Щоб визначити положення головних центральних осей несиметричної фігури, повернемо довільну початкову систему центральних осей z,y на деякий кут, при якому відцентровий момент інерції стає рівним нулю.

Звідки.

Визначення значень основних моментів інерції:

Причому верхні знаки слід брати за .

Види напруженого стану. Тензор напруги. Закон парності дотичних напруг.

Напруженим станом тіла в точці називають сукупність нормальних та дотичних напруг, що діють по всіх майданчиках, що містять точку.

Лінійне - якщо одна основна напруга відмінно від нуля, а 2 інших рівні 0.

Плоске - якщо дві основні напруги відмінні від нуля, а одне дорівнює нулю.

Об'ємне - якщо всі 3 головні напруги відмінні від нуля.

- Тензор напруг.

Закон парності дотичних напруг:

Плоский напружений стан. Напруги по похилих майданчиках. Визначення напруги за допомогою кіл Мору. Пряме та зворотне завдання.

Плоським називається напружений стан, при якому одна з трьох головних напруг дорівнює нулю.

Напруги по похилих майданчиках:

Визначення напруги за допомогою кіл Мору: ;

Координати точок кола відповідають нормальним та дотичним напругам на різних майданчиках. Відкладаємо від осі з центру С промінь під кутом 2 ( , проти годинникової стрілки), знаходимо точку D, координати якої: , . Можна графічно вирішувати як пряме, і зворотне завдання.

Пряме завдання: , ,

Визначимо напруги та , що діють по будь-якому похилому майданчику за відомими головними напругами та .

Зворотне завдання: ,

За відомими нормальними дотичними напругами, що діють у двох взаємно перпендикулярних майданчиках, знайти головні (max і min, 1і 2) напруги і положення головних майданчиків. Дотичні напруги по головним майданчикам дорівнюють 0). Кут визначальний становище основних площадок: . Якщо одне з основних напруг виявиться негативним, їх треба позначити , , якщо обидва негативні, то , .

Косий вигин. Визначення напруги, умова міцності.

Вигин з крученням стрижнів круглого поперечного перерізу. Визначення розрахункової напруги та перевірка міцності.

σ=√(Mx^2+My^2)/Wно; τ=Mкр/Wρ; По четвертій енергетичній теорії: σmax^IV=√(σ^2+3*τ^2)

внутрішні силові фактори. Метод перерізів. Поняття про напруження. Зв'язок між внутрішніми силовими факторами та напругами.

Щоб знайти внутрішні сили скористаємося методом перерізів РОЗУ. Р - розрізаємо довільний площиною на А і В. Про - відкидаємо одну з цих частин, наприклад В. Розглянемо частину, що залишилася. З – замінюємо. Внутрішні сили ми замінюємо головним вектором та головним моментом. Розкладаємо головний вектор та головний момент у площині на осі. Внутрішні силові фактори:

Qx, Qy -викликають зсув - перерізують поперечні сили; N – нормальна поздовжня шина, розтяг, стиснення бруса; Mz - крутний момент; Mx, My - згинальний момент. Графік зміни внутрішнього фактора при пересуванні вздовж осі стрижня називається епюрою. У – врівноважуємо.

Виділимо в розрізі точку B, а в околиці цієї точки - елементарну площадку з площею . Нехай – рівнодіюча всіх внутрішніх сил, що діють на майданчику. Ставлення називається середньою напругою на майданчику, яке характеризує середню інтенсивність розподілу внутрішніх сил на цьому майданчику. Межа цього відношення називається повною напругою в точці B. Цю напругу можна розкласти на складові: нормальне та дотичні до площини перерізу. Нормальна складова називається нормальною напругою; складова, що лежить у площині перерізу, називається дотичною напругою. Відносну складову розкладають на 2 перпендикулярні складові вздовж осей x та y - . Величина повної напруги. Зв'язок напруг з внутрішніми силовими факторами може бути описаний такими співвідношеннями: 2. Розтягнення та стиснення. напруга. Деформація. Умови міцності та жорсткості.Під розтягненням (стисненням) розуміють такий вид навантаження, при якому в поперечних перерізах стрижня виникають лише поздовжні сили, а інші силові фактори дорівнюють нулю. Деформацією називається зміна форми та розмірів тіла під дією напруг. Напруга - сила, що діє на одиницю площі перерізу деталі. Умова міцності: , умова жорсткості: . 3. Механічні властивості матеріалів. Випробування матеріалів на розтяг стиснення.Під механічними характеристиками маються на увазі значення напруг та деформацій, відповідні певним точкамна діаграмі умовних напруг. Межою пропорційності називається найбільша напруга, до якої деформації прямо пропорційні напругам. Межею пружності називається напруга, до якого матеріал не отримує залишкових деформацій. , що витримується матеріалом при розтягуванні. Межею пружності вважається напруга, при якій залишкові деформації досягають заздалегідь встановленої величини. 4. Геометричні характеристики плоских перерізів. Визначення центру важкості складних перерізів. Геометричні характеристики - Чисельні величини, що визначають розміри, форму, розташування поперечного перерізу однорідного за пружними властивостями деформується елемента конструкції.

Центр тяжкості складного перерізу визначається за умови

Угода про використання матеріалів сайту

Просимо використовувати роботи, опубліковані на сайті, виключно в особистих цілях. Публікацію матеріалів на інших сайтах заборонено.
Дана робота (і всі інші) доступна для завантаження абсолютно безкоштовно. Подумки можете подякувати її автору та колективу сайту.

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму, розташовану нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Подібні документи

Поняття розтягування як виду навантаження, особливості дії сил та основні характеристики. Відмінності між стиском та розтягненням. Сутність напруги, що у поперечному перерізі розтягнутого стрижня, поняття відносного подовження стрижня.

реферат, доданий 23.06.2010


Потенційна енергія заряду в однорідному полі та потенційна енергія взаємодії точкових зарядів. Поняття різниці потенціалів. Зв'язок напруги та напруженості. Принцип суперпозиції для потенціалу. Концепція еквіпотенційних поверхонь.

контрольна робота , доданий 06.10.2013


Загальна характеристикаопору матеріалів. Аналіз міцності, твердості, стійкості. Сутність схематизації геометрії реального об'єкта. Брус, оболонка, пластина, масив як окремі тіла простої геометричної форми. Особливості напруги.

презентація , доданий 22.11.2012


Визначення розмірів поперечних перерізів стрижнів, що моделюють конструкцію робота-маніпулятора. Обчислення деформації елементів конструкції, лінійного та кутового переміщення захвату. Побудова матриці податливості системи за допомогою інтегралу Мора.

курсова робота , доданий 05.04.2013


Обчислення реакцій опор у рамах та балках з літерними та числовими позначеннями навантаження. Підбір номерів двотаврових перерізів. Проведення розрахунку поперечних сил та згинальних моментів. Побудова епюр внутрішніх зусиль. Визначення переміщення точок.

курсова робота , доданий 05.01.2015


Теорема про циркуляцію вектор. Робота сил електростатичного поля. Потенційна енергія. Різниця потенціалів, зв'язок між ними та напруженістю. Силові лінії та еквіпотенційні поверхні. Розрахунок потенціалів найпростіших електростатичних полів.

презентація , доданий 13.02.2016


Енергія вітру та можливості її використання. Робота поверхні під впливом неї сили вітру. Робота вітрового колеса крильчастого вітродвигуна. Перспективи розвитку вітроенергетики у Казахстані. Переваги та недоліки систем вітродвигунів.

реферат, доданий 27.10.2014


Завдання опору матеріалів як науки про інженерні методи розрахунку на міцність, жорсткість та стійкість елементів конструкцій. Зовнішні сили та переміщення. Класифікація навантаження характером дії. Поняття розрахункової схеми, схематизація навантажень.

Під дією зовнішніх навантажень у перерізі конструкції (стрижня, балки тощо) виникають додаткові зусилля, які називаються внутрішніми силовими факторами та які визначаються методом перерізу. Це реакція зв'язку однієї відсіченої частини на іншу, реакція опори на тіло, реакція гнучкого зв'язку та ін. Сили впливу відсіченої частини на аналізований елемент конструкції по відношенню до нього є зовнішніми силами загальним рівняннямрівноваги.

5. Які види деформації бруса визначають внутрішні силові фактори?

За допомогою методу перерізів визначаються внутрішні силові фактори: головний вектор та головний момент розкладаються на складові , які визначають такі види деформації:

1) Розтягування (стиснення) – поздовжня сила а всі інші складові рівні нулю.

2) Зсув (зріз) – поперечна сила або

3) Кручення - крутний момент а всі інші рівні нулю.

4) Вигин – коли або , або , інші складові рівні нулю.

5) Складне опір – коли поєднання будь-яких внутрішніх зусиль не дорівнює нулю.

Що розуміється під механічною напругою і яка її розмірність?

Напруженням на даному майданчику називається інтенсивність внутрішніх сил, що передаються в точці через виділений майданчик.

Повна напруга на даному майданчику розкладається на нормальну та дотичну напругу, причому . Напруга має розмірність інтенсивності навантаження, тобто. МПа (кгс/см2, тс/м2).

1 МПа = 106Па = 106Н/м2.

Навести формули, що пов'язують внутрішні силові фактори з напругою.

Нормальні та дотичні напруги в кожному поперечному перерізі бруса пов'язані певними співвідношеннями з внутрішніми зусиллями, що діють у цьому перерізі:













У формулах - координати точки, де визначається напруги.

Який вид деформації називається розтягуванням (стисненням)?

Розтягненням (стисненням) називається такий вид деформації, як у поперечному перерізі стрижня під впливом зовнішніх навантажень виникає лише одне внутрішній силовий чинник – поздовжня сила , інші внутрішні силові чинники відсутні.

Поздовжня сила викликає нормальні напруження, що визначаються:

При рівномірному розподілі їх за перетином

При нерівномірному розподілі

Поздовжня сила та напруга позитивні при розтягуванні та негативні при стисканні.

Абсолютна та відносна деформація при розтягуванні (стисненні). Коефіцієнт Пуассона.

Якщо під дією сили брус довжиною змінив свою поздовжню величину на , то ця величина називається абсолютною подовжньою деформацією (абсолютне подовження або скорочення). При цьому спостерігається і абсолютна поперечна деформація .

Ставлення називається відносною поздовжньою деформацією, а відношення - Відносною поперечною деформацією.

Ставлення називається коефіцієнтом Пуассона, що характеризує пружні властивості матеріалу.

Коефіцієнт Пуассона має значення . (Для сталі він дорівнює )

Сформулювати закон Гука під час розтягування (стиснення).

І форма. У поперечних перерізах бруса при центральному розтягуванні (стисненні) нормальні напруги дорівнюють поздовжньої силидо площі поперечного перерізу:



ІІ форма. Відносна поздовжня деформація прямо пропорційна нормальній напрузі , звідки .

Розглянемо розрахункову схему балки з довільним розподіленим навантаженням (рис.2).

Рис.2.Схема вигину балки:
а) розрахункова модель; б) фрагмент балки

Складемо рівняння рівноваги:

Таким чином, дійсно: перша похідна від внутрішнього згинального моменту лінійної координати дорівнює поперечній силі в перерізі.

Ця відома властивість функції та її першої похідної успішно використовується під час перевірки правильності побудови епюр. Так, для розрахункової схеми консольної балки (рис.1) цей зв'язок дає такі перевірочні результати:

І Мубуває від 0 до – Pl.

І М х.

Розглянемо другий характерний приклад вигину двоопорної балки (рис.3).

а) розрахункова схема, б) модель першої ділянки, в) модель другої ділянки, г) епюра поперечних сил, д) епюра згинальних моментів

Рис.3.Вигин двоопорної балки:

Очевидно, що опорні реакції R A = R B:

• < б) (рис.3 участка первого>
• для другої ділянки (рис.3 в) –

Епюри внутрішніх зусиль представлені відповідно на рис. і 3 д.

На основі диференціального зв'язку Qі М, отримаємо:

• для першої ділянки:

Q > 0і Мзростає від нуля до.

Q= const та M x

• для другої ділянки:

Q< 0 і Мзменшується з нуля.

Q = constі Mтакож пропорційний х, тобто. змінюється за лінійним законом.

Небезпечним у цьому прикладі є переріз балки в центрі прольоту:

Третій характерний приклад пов'язані з використанням розподіленої по довжині балки навантаження (рис.4). Наслідуючи методику, прийняту раніше, очевидно рівність опорних реакцій: , а для шуканого перерізу (рис.4 б) вирази для внутрішніх зусиль набувають вигляду:

а) розрахункова схема, б) відсічена частина, в) епюра поперечних сил, г) епюра внутрішніх згинальних моментів

Рис.4Двохпірна балка з рівномірно розподіленим навантаженням:

На обох опорах згинальний момент відсутній. Проте небезпечним перетином балки буде центр прольоту при . Дійсно, виходячи з властивості функції і похідної при внутрішній згинальний момент досягає екстремуму. Для знаходження вихідної координати х 0(Рис.4 в) у загальному випадку прирівняємо вираз поперечної сили до нуля. У результаті отримаємо

Після підстановки у вираз згинального моменту отримаємо:

Таким чином,

Необхідно відзначити, що техніка побудови епюр при згині найважче засвоюється слухачами. Вам надається можливість навчитися «швидкій» побудові епюр на тесторі-тренажері, наведеному в ДОДАТКУ та вирішити у вихідних тестах з опору матеріалів Вам знайомі з постановки завдання позиції.

Лекція №5.Поняття про напруження та деформації

Як зазначалося вище, внутрішні сили, що діють у деякому перерізі з боку відкинутої частини тіла, можна призвести до головного вектора та головного моменту. Зафіксуємо точку Му аналізованому перерізі з одиничним вектором нормалі n. На околиці цієї точки виділимо малий майданчик F. Головний вектор внутрішніх сил, що діють на цьому майданчику, позначимо через P(Рис. 1 а). При зменшенні розмірів майданчика відповідно

Рис.1.Вектор напруги композиції.
а) вектор повної напруги б) вектор нормальної та дотичної напруги

зменшуються головний вектор і головний момент внутрішніх сил, причому головний момент зменшується більшою мірою. У межі при отримаємо

Аналогічна межа для головного моменту дорівнює нулю. Введений таким чином вектор р nназивається вектор напруги в точці.Цей вектор залежить не тільки від зовнішніх сил, що діють на тіло, і координат точки, що розглядається, але й від орієнтації в просторі майданчика. F, що характеризується вектором п. Сукупність всіх векторів напруг у точці Мдля різних напрямків вектора пвизначає напружений стан у цій точці.

У випадку напрям вектора напруг р nне збігається з напрямком вектора нормалі п. Проекція векторар n на напрям вектора п називається нормальною напругою, а проекція на площину, що проходить через точку М і ортогональна вектор , - дотичною напругою(Рис. 1 б).

Розмірність напруг дорівнює відношенню розмірності сили до розмірності площі. У міжнародній системі одиниць напруги СІ вимірюються в паскалях: 1 Па=1 Н/м 2 .

При дії зовнішніх сил поряд із виникненням напруг відбувається зміна об'єму тіла та його форми, тобто тіло деформується. При цьому розрізняють початковий (недеформований) і кінцевий (деформований) стан тіла.

Віднесемо недеформоване тіло до декартовій системікоординат Oxyz(Рис. 2). Положення деякої точки Му цій системі координат визначається радіус-вектором r(х, у, z).У деформованому стані точка Мзайме нове становище М/,характеризується радіус-вектором r" (х, у, z).Вектор u=r"-rназивається вектором, переміщеньточки М.Векторні проекції uна координатні осі визначають компоненти вектора переміщень і(х, у, z), v(х, у, z), w(х, у, z),рівні різниці декартових координатточки тіла після та до деформації.

Переміщення, у якому взаємне розташування точок тіла змінюється, не супроводжується деформаціями. У цьому випадку кажуть, що тіло переміщається як жорстке ціле (лінійне переміщення в просторі або поворот відносно деякої точки). З іншого боку, деформація, пов'язана із зміною форми тіла та його об'єму, неможлива без переміщення його точок.

Рис.2.Векторна композиція переміщення

Деформації тіла характеризуються зміною взаємного розташуванняточок тіла до та після деформації. Розглянемо, наприклад, точку Мі близьку до неї точку N,відстань між якими у недеформованому стані вздовж напрямку вектора s позначимо через (рис. 2). У деформованому стані точки Мі Nперемістяться в нове положення (точки М"і N’), відстань між якими позначимо через s".Межа відносин

називається відносною лінійною деформацієюу точці Му напрямку вектора s, рис.3. Розглядаючи три взаємно перпендикулярні напрямки, наприклад, уздовж координатних осей Ох, Оуі Oz, отримаємо три компоненти відносних лінійних деформацій, що характеризують зміну об'єму тіла в процесі деформації , пов'язаних з поворотами відрізків

Внутрішні сили визначаються методом перерізів. Для демонстрації цього розглянемо тіло, що у рівновазі (рис.1.4).



Уявно проводимо переріз деякою площиною в місці, де необхідно визначити внутрішні зусилля. Оскільки зв'язки між частинками усунуті, необхідно дію правої частини на ліву і ліву на праву замінити системою сил у перерізі. Ними і є внутрішні сили, які за принципом дії та протидії завжди взаємні. Незалежно від того, як ці сили розподілені за перерізом, вони наводяться до центру тяжкості перерізу у вигляді головного вектора внутрішніх сил та головного моменту внутрішніх сил
. Визначаються вони з рівнянь рівноваги залишеної у розгляді байдуже до якої частини елемента (у разі лівої). Для складання рівнянь рівноваги в с еченіі вибирають систему координат, і вектора і розкладаються по цих осях на шість складових: три сили (подовжнє внутрішнє зусилля
та поперечні зусилля , ) і три моменти (крутний момент
та згинальні моменти
,
), які визначаються із шести рівнянь рівноваги (рис. 1.5).

Таким чином, за допомогою методу перерізів можна визначити не закон розподілу внутрішніх зусиль з перетину, а лише їх рівнодіючі. Аби вирішити завдань міцності треба зазначити характер розподілу сил із перерізу, тобто. ввести числову міру. За такий захід приймається напруга.
^

1.6 Напруження. Зв'язок напруг із внутрішніми силовими факторами. Принцип Сен-Венана


Напруження– інтенсивність дії зусиль у цій точці або внутрішнє зусилля, що припадає на одиницю площі

Е якщо виділити малий майданчик
у перетині та позначити внутрішнє зусилля, що діє на неї
(рис. 1.6), вектор повної напруги в точці тіла визначатиметься формулою

, (1.1)

Задається вектор повної напруги своїми проекціями на осі
, , . Для цього позначимо проекції вектора на осі
,
,
(рис. 1.7) та знайдемо відповідні проекції повної напруги:

Нормальна напруга

, (1.2)

Рис. 1.7 - дотична напруга вздовж осі

, (1.3)

Відносна напруга вздовж осі

. (1.4)

Якщо закон розподілу напруг за перетином відомий, то за допомогою формул (1.2) – (1.4) та малюнків (1.8), (1.5) можна отримати зворотний зв'язок між напругами та внутрішніми силовими факторами

, (1.5)
Напруги, викликані локальним навантаженням у точках тіла, досить віддалених від місця докладання до нього цього навантаження, мало залежать від конкретного характеру розподілу навантаження, а визначаються лише головним вектором і моментом.

Навантаження називається локальним, якщо розміри майданчика, до якого вона прикладена, малі порівняно з розмірами тіла.