この法令では、点から平面への固定点があり、座標の方法を選択します。これにより、特定の点から特定の平面への特定の点を簡単な空間で見つけることができます。 理論の提示に続いて、そのタスクのいくつかの特徴的なアプリケーションの開発を分析することが報告されています。

側面のナビゲーション。

Vіdstanは飛行機を指しています-vznachennya。

ポイントから平面までの距離は、によって決定されます。一方は特定のポイントであり、もう一方は特定のポイントの特定の平面への射影です。

トリビワールド空間に点M1と平面を与えます。 平面に垂直な点M1の直線aを通ります。 重要なのは、直線aと平面ヤクH1の交点です。 VіdrіzokM1H1の名前 垂直点M1から平面に、そして点H1-に下げましょう。 垂線の基礎.

予定。

–指定されたポイントから、指定されたポイントから指定された平面に引かれた垂線のベースに移動します。

ほとんどの場合、そのような外観の平面へのポイントを見るように予約が行われます。

予定。

V_dstanv_dは平面を指します-特定のポイントから特定の領域に垂れ下がった垂線の長さ。

次のステップは、そのようなランクで割り当てられた、点M 1から平面への移動方法を指定することです。これは、指定された点M1から平面の点までの最短距離です。 確かに、点H 2を平面の近くに置き、点H1を確認します。 明らかに、tricutnik M 2 H 1 H 2はストレートカットであり、NewomではM 1 H 1は脚であり、M 1H2は斜辺です。 。 スピーチの前に、M1H2が呼び出されます 虚弱、点M1から平面に描画されます。 Otzhe、垂直、特定の点から特定の平面への省略、zavzhdはより脆弱ではなく、特定の点から特定の平面に描画されます。

点から平面へと歩きます-理論、応用、解決策。

Deyakіの幾何学的なタスクsevdannyasevniystepіreshennyavіmagayutznakhodzhennyavіdstanіvіdvіdはplaschinіを指します。 休暇中の休閑期間に選択される方法。 結果を呼び出して、ビクトリア、またはピタゴラスの定理、またはトリックの同等性と類似性の兆候を生成します。 点と平面の間の距離を知る必要がある場合、それが些細な空間で与えられれば、座標の方法が助けになります。 この時点で、統計はmiyakrazyogoとrazberemoです。

メンタルタスクを順番に定式化します。

直交座標系Oxyzの場合、点は自明な空間に与えられます 、点M1から面積までの面積を知る必要があります。

このタスクを解く2つの方法を見てみましょう。 平面へのポイントの数を計算できる最初の方法は、ポイントH1の既知の座標に基づいています-ポイントM1から平面にドロップされた垂線のベースとポイントM間のさらなる計算1およびH1。 与えられた点で与えられた平面へのnahodzhennyaの別の方法は、与えられた領域の通常の配置を転送することです。

ポイント数を計算できる最初の方法 フラットまで。

H1-点M1から平面に引かれた垂線の基底とします。 点H1の座標は重要であるため、点M 1から平面までの距離は、点間の距離として計算できます。 і 公式の背後にあります。 このように、点H1の座標を知ることは不可能です。

Otzhe、 アルゴリズム フラットまで攻撃：

別の方法、これはvіdstanіvіdポイントを見つけるのに適しています フラットまで。

直交座標系Oxyzに平面があるので、ビューの平面の法平面を取ることができます。 次に、ポイントに移動します 面積までは、このような式に従って計算されます。 点と平面の差の値の公式の妥当性は、前進する定理によって確立されます。

定理。

直交座標系Oxyzをtrivi-worldly空間の近くに固定すると、点が与えられます そして心の平面の通常の整列。 平面へのVіdstanvіdポイントM1は、tobtoで計算された、平面の法平面の左側にあるビラズの絶対値よりも大きいです。

持参。

この定理の証明は、点と直線の差の分割で引き起こされる同様の定理の証明と完全に類似しています。

点M1から平面への移動が、数値投影M 1の差のモジュールに近く、平面への座標の穂軸に移動することを示すのは簡単ではありません。 、de -ドアユニットの面積の法線ベクトル、- ベクトルである直線上。

і 1つは予定用ですが、調整形式です。 Otzhe、そして持っていく必要があったもの。

そのような方法で、 ポイントに立つ 平面までは、取られた値の絶対値をとる点M 1iの領域x、yおよびz座標x 1、y1іz1の通常の位置合わせの左側に代入することによって計算できます。

ポイントに値を適用します フラットまで。

お尻。

ポイントの場所を知る フラットまで。

解決。

最初の方法。

zavdannyaの心のために、私たちは心の非常に平らな表面を与えられました、星はそれを見ることができます -平面の法線ベクトル。 このベクトルは、与えられた平面に垂直な直線の直接ベクトルと見なすことができます。 次に、点を通過するように、空間内の直線の標準的な配置を記述できます。 座標を持つ直接ベクトルの場合もあり、悪臭が見える場合もあります。

線上の点の座標を知ることに取り掛かりましょう そのフラット。 大幅にїїH1。 どの肩について、標準の直線から重なり合う2つのフラットの直線に移動できます。

今razv'yazhemoシステムrivnyan （必要に応じて、記事にアクセスしてください）。 Vikoristovuemo：

そのような方法で、

ポイント間を到達する方法として、特定のポイントから特定のエリアまでの必要な距離を計算するのに失敗しました і :
.

別の見方。

与えられた領域の通常の配置を取ります。 私たちがその地域の深い平坦さを通常の外観にする必要がある人のために。 正規化乗数を見つけた 、otrimuemo領域の通常の平坦度 。 削除された等しいの左側の値の計算を失った そして、取られた値のモジュラスを取ります-次に、冗談を言っているポイントを見てください フラットに：

だから私はこちら側で読んだ（http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html）

D = --D3DXVec3Dot（＆vP1、＆vNormal）;

de vP1は平面上の点であり、vNormalは平面の法線です。 Menіtsіkavo、yak tseはあなたに光の穂軸のv_dstanを与えるので、zavzhddоrіvnyuvatime0の結果です。さらに、私たちは正方形の穂軸に明確な光を当てる必要がありますか？

算数

3Vіdpovіdі

6

急な斜面では、点pと平面の間に立ちますが、次の式で保護できます。

de -ポイント商品の運用

= ax * bx + ay * by + az * bz

idep0は平面上の点です。

nが単一の場合、ベクトルとそれの間の点dobutokは、法線へのベクトルの射影の（符号）長さです。

あなたが言うように、点pが座標の穂軸である場合、式はドロップのようなものです。 私の右に

距離= = -

点線は点ではなくベクトルであるため、この等式は形式的には正しくありません...しかし、それでも数値的にカウントされます。 明示的な式を書き留めたら、あなたは

（0-p0.x）* n.x +（0-p0.y）* n.y +（0-p0.z）* n.z

同じ、翔

-（p0.x * n.x + p0.y * n.y + p0.z * n.z）

2

結果は常にゼロに戻るとは限りません。 平面が座標の穂軸を通過するため、結果はその方向でのみゼロに等しくなります。 （ここでは、座標の穂軸を通過しないことが許容されます。）

原則として、平面上の最後の点までの座標の穂軸に線が与えられます。 （つまり、座標の穂軸からvP1へのベクトルがあります）。 このベクトルの問題は、多くの場合、傷の断層が平面上の最も近い点ではなく、平面上の離れた場所に直接つながるという事実にあります。 このランクでは、vP1を取得したばかりの場合、大きな勝利を奪います。

知っておく必要があるのは、vP1を、ご存知のように平面に垂直なベクトルに投影することです。 Tse、明らかに、vNormal。 また、ポイントブーストvP1とvNormalを取り、それをvNormalに分割すると、違いがなくなります。 （愛の悪臭を放つために、すでに1つのサイズであるvNormalを提供するために、配布する必要はありません。）

1

この問題は、追加のラグランジュ乗数を使用して解決できます。

あなたは飛行機の中で最も近い点が見ている母親のせいであることを知っています：

C = p + v

De cは最も近い点であり、vは平面のスパンのベクトルです（したがって、このように、nの法線に直交します）。 最小のノルム（または正方形のノルム）からcを知ろうとします。 このように、vがnに直交していることを理解するためにdot（c、c）を最小化する必要があります（また、dot（v、n）= 0）。

この順序で、ラグランジアンをインストールします。

L =ドット（c、c）+ラムダ*（ドット（v、n））L =ドット（p + v、p + v）+ラムダ*（ドット（v、n））L =ドット（p、p） + 2 * dot（p、v）+ dot（v、v）* lambda *（dot（v、n））

І次のように、vへのオフセット（0を置く）を取ります。

2 * p + 2 *v+ラムダ*n= 0

あなたは同じ場所でラムダを誓うことができます、それに終止符を打ち、nの側面を怒らせます

2 *ドット（p、n）+ 2 *ドット（v、n）+ラムダ*ドット（n、n）= 0 2 *ドット（p、n）+ラムダ=0ラムダ=-2 *ドット（p、n ））））

dot（n、n）=1іdot（v、n）= 0であることに注意することが重要です（スケールvは平面の近くで繰り返され、nはїйに直交します）。 Substitutelambdaを回して見てみましょう。

2 * p + 2 * v-2 * dot（p、n）* n = 0

とvの詩、取る：

V = dot（p、n）* n-p

これをc=p+vに戻して次のようにします。

C = dot（p、n）* n

ベクトルが健全なDovzhina| dot（p、n）| 、i記号は、点が座標の穂軸の法線ベクトルの直線上にあるか、座標の穂軸の逆方向にあるかを示します。

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座標の上部をすべてのポイントに揃えたいと思います。ポイントは、2つの座標からのデータのフレームによって与えられます。 私はすべてのポイントを持っています、ヤク：x y 1 0.0 0.0 2 -4.0 -2.8 3 -7.0 -6.5 4 -9.0 -11.1 .. ..

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与えられたもの：点（x1、y1、z1）ベクトルを直接（a1、b1、c1）なので、ax + by + cz + d = 0点からベクトルの平面までの距離Dをどのように知ることができますか？ ありがとうございました

平面を別の座標系に変換する

同じ光座標系のラッピング行列Rと平行移動Tによって割り当てられたカメラ座標系があります。 この領域は、法線Nとその上の点Pのカメラ座標で定義されます。

vіdstanіvіdの任命についてのTsyastatyarozpovidaєは飛行機を指しています。 座標の方法によるzrobimorozbіr。これにより、与えられたポイントtrivіrіrnogoの広がりに対してvіdstanを知ることができます。 修正するために、私たちは多くのタスクを見ることができます。

Vіdstanvіdは、追加のvіdomoїで知られる平面を指します。vіdstanivіdは、それらの1つが与えられ、もう1つは与えられた平面上の投影である点を指します。

平面を持つ点M1が空間に設定されている場合、その点を介して平面の直線に垂線を描くことができます。 H1єzagalnoyポイントїhnyperetina。 十字M1H 1は、点M1から平面χde点H1（垂線の基礎）に引かれた垂線全体であることが重要です。

予定1

特定の点から特定の平面までの距離を、特定の点から垂線の底までの距離に指定します。

予定はさまざまな式で書くことができます。

予定2

Vіdstannuは飛行機を指しています特定の点から特定の平面に引かれる垂線の長さに名前を付けます。

平面χに対して点M1に立つことは、次のように示されます。平面に対して点M 1に立つことは、平面の任意の点に対して与えられた点の中で最小になります。 同様に、点H 2は平面χに広がり、健全な点H 2ではありませんが、M 2 H 1H2の形のストレートカットトリコットも必要です。 、Shoєrectilinear、deєlegM 2 H 1、M 2 H 2 -斜辺。 Otzhe、星はそのM 1H1を叫んでいます< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 点M1から平面まで実行されるため、脆弱であることが重要です。 Miは、垂直に、特定の点から平面に伝導し、より脆弱ではなく、ある点から特定の平面に伝導するヤクをすることができます。 下を指して、この小さなvipadokを見てみましょう。

点から平面への歩行-理論、応用、解決策

いくつかの幾何学的な順序、rozv'yazannyayakyhは点から平面への有罪の復讐です。 その発現の方法は異なる可能性があります。 完璧を期すには、ピタゴラスの定理、またはトリックの類似性を使用します。 点から平面に拡張する必要がある場合は、座標法を使用して、トリバイマー空間の直角座標系を設定します。 この点が方法と考えられます。

面積χの座標M1（x 1、y 1、z 1）の自明な空間の点が与えられる精神的課題の場合、M1と面積χの間の距離を示す必要があります。 rozvyazannyaのvystosovuєtsyaskolkaの方法のために。

最初の方法

znahodzhennіvіdstanіのTsejsposіbґruntuetsyaは、点H 1の追加の座標のために平面を指し、yakієは点M1から平面への垂線の基礎です。 さらに、M1とH1の間の量を計算する必要があります。

別の方法でタスクを完了するために、zastosovitは通常指定された領域に等しくなります。

別の方法

心のmaєmoの場合、H 1は垂線の基礎であり、点M1から平面χに下げられました。 次に、点H1の座標（x2、y2、z2）が割り当てられます。 V_dstan v_dM1から平面χへの式M1H 1 \ u003d（x 2-x 1）2 +（y 2-y 1）2 +（z 2-z 1）2、de M 1 （x 1、y 1、z 1）およびH 1（x 2、y 2、z 2）。 それを完了するには、点H1の座標を認識する必要があります。

H 1は、直線aからの平面の断面の点であり、点M 1を通過するように、平面に垂直に切断される可能性があります。 音は、与えられた平面に垂直な与えられた点を通過するために直線を折りたたむ必要があることを示しています。 点H1の座標を決定することも可能です。 直線と平面の交点の座標を計算する必要があります。

平面χまでの座標M1（x 1、y 1、z 1）を持つ点を見つけるためのアルゴリズム：

予定3

• 直線aを折り、1時間で点M1iを通過する
• 平面に垂直;
• 座標（x 2、y 2、z 2）点を知って計算するH1є点
• 平面を持つ直線aの断面;
• M1からχバイコリストの式M1H 1 \ u003d（x 2-x 1）2 +（y 2-y 1）2 + z 2-z12の回数を計算します。

第三の道

与えられた直交座標系Оxуzє面積に対して、それは通常、cosα・x +cosβ・y +cosγ・z --p=0の形式の平面に等しくなければなりません。 点M1（x 1、y 1、z 1）からの距離M 1 H 1は、式M 1 H1=cosαx+cosβyを使用して計算される領域χに描画される必要があります。 +cosγz-p。 Tsyaの公式は有効ですが、定理の基礎が挿入されています。

定理

点として、M 1（x 1、y 1、z 1）は自明な空間に与えられます。これは通常、cosαx+cosβy+cosγz--p=0の形式の平面χに等しくなります。平面までの点の数を数えるM1H 1は、式M 1 H 1=cosαx+cosβy+cosγz--pで回転するため、x = x 1、y = y 1、z = z1。

持参

定理の証明は、点から直線までの距離の値に還元されます。 M 1から平面までの距離-ceとєは、座標の穂軸から平面までの距離からの半径ベクトルM1の数値投影の差のモジュールであることが重要です。 次に、viraz M 1 H 1 \ u003d npn→OM→--pを取ります。 領域の法線ベクトルはn→=cosα、cosβ、cosγで表示でき、その長さは複数です。npn→OM→-ベクトルの数値射影OM→=（x 1、y 1、 z 1）yを直接、これはベクトルn→。

スカラーベクトルの計算式を解いてみましょう。 次に、n→、OM→=n→npn→OM→=1 npn→OM→=npn→OM→、スケールn→=cosα、cosβの形式のベクトルの値に変数を使用する必要があります。 、cosγzおよびOM→=（x 1、y 1、z 1）。 表記の座標形式はn→、OM→=cosαx1+cosβy1+cosγz1であり、M 1 H 1 = n pn→OM→--p=cosαx1+cosβ・y 1 +cosγ・z1-p。 定理は完成しました。

点M1（x 1、y 1、z 1）から平面χまでの距離が、法平面cosαx+cosβy+cosγzの左側の追加の置換のために計算されることが重要です。 --p = 0 x、y、z座標x 1、y1を置き換えます z1、取得した値の絶対値をとって、点M1を描画します。

与えられた平面までの座標を持つ点の値を見てみましょう。

お尻1

領域2x--y + 5 z --3 =0までの座標M1（5、-3、10）の点の数を計算します。

解決

この問題は2つの方法で解決します。

直線の直接ベクトルを計算する最初の方法a。 マインドマモの場合、schoは2 x --y + 5 z-3 =0єがヘッドビューの面積に等しく、n→=（2、-1、5）єの法線ベクトルを与えられます与えられた領域。 与えられた領域に垂直であるように、直線aの直接ベクトルのようにたるみます。 次に、空間内の直線の正規の配置を書き留めます。これは、座標2〜15の直接ベクトルでM1（5〜3 10）を通過します。

x-5 2 = y-（-3）-1=z-105⇔x-52 = y + 3-1 =z-105を見るのを楽しみにしています。

スライドしてブレークポイントを指定します。 カノニカルからオーバーラップする2本の直線のアラインメントへの移行のために、アラインメントをシステムに統合する下部。 QiuポイントはH1として受け入れられます。 私たちはそれを考慮に入れます

x-5 2 = y + 3-1 = z-105⇔-1（x-5）= 2（y + 3）5（x-5）= 2（z-10）5（y + 3）= -1（z-10）⇔⇔x+ 2 y + 1 = 0 5 x-2 z-5 = 0 5 y + z +5=0⇔x+2y + 1 = 0 5 x-2 z-5 = 0

次に、システムを破壊する必要があります

x + 2 y + 1 = 0 5 x-2 z-5 = 0 2 x --y + 5z-3=0⇔x+2y = 1 5 x-2 z = 5 2 x --y + 5 z = 3

Gausのシステム変更のルールに戻りましょう。

1 2 0-1 5 0-2 5 2-1 5 3〜1 2 0-1 0-10-2 10 0-5 5 5〜1 2 0-10 0-10-2 10 0 060⇒⇒⇒ z = 0 6 = 0、y =-1 10 10 + 2 z =-1、x =-1-2 y = 1

H 1（1、-1、0）である可能性があります。

vіdstanіのZdiisnyuєmo計算は、平面に与えられたポイントを示しました。 ポイントM1（5、-3、10）およびH 1（1、-1、0）を取り、許容可能

M 1 H 1 \ u003d（1-5）2 +（-1-（-3））2 +（0-10）2 \ u003d 2 30

それを行う別の方法は、与えられた方程式2 x --y + 5 z --3=0を通常に戻すことです。 正規化乗数は122 +（-1）2 + 5 2 =130と見なされます。 領域のZvіdsivyvodimo平坦度230x-130 y + 5 30 z-3 30=0。 方程式の左部分の計算は、追加の置換x = 5、y =-3、z = 10に対して実行されます。さらに、エントリ数M 1（5、-3、10）を次のように取る必要があります。モジュールごとに2x--y + 5 z-3=0。 私たちはvirazを取ります：

M 1 H 1 \ u003d 2 30 5-130-3 + 5 30 10-3 30 \ u003d 60 30 \ u003d 2 30

日付：230。

面積χが面積設定の方法を分割する方法の1つである場合、穂軸は面積χのレベルを取得し、任意の方法の助けを計算する必要があります。

お尻2

自明な空間には、座標M 1（5、-3、10）、A（0、2、1）、B（2、6、1）、C（4、0、-1）の点が与えられます。 ABC領域へのM1の拡張を計算します。

解決

穂軸の場合、座標M 1（5、-3、10）、A（0、2、1）、B（2）で指定された3つのポイントを通過する平面のレベルを書き留める必要があります。 、6、1）、C（4、0、-1）。

x --0 y --2 z --1 2 --0 6 --2 1 --1 4 --0 0 --2 --1-1=0⇔xy-2z --1 2 4 0 4 --2--2=0⇔⇔- 8x + 4y-20z +12=0⇔2x--y+5z-3 = 0

順序が前の決定と類似している可能性があることを悲鳴を上げるように聞こえます。 次に、点M 1から平面ABCまで、値は230です。

日付：230。

vіdstanіvіdvіdの値は、平行の悪臭のように、平面上の平面上の所定の点であり、より便利なことに、zastosuva式M 1 H 1 =cosα・x 1 +cosβ・y 1 +cosγ・z 1- p。 フラットの通常の平坦度にはDIYのスプラットがあることを考慮に入れる必要があります。

お尻3

座標M1（-3,2、-7）を持つ与えられた点から、2 y-5=0で与えられる座標平面Oxyzi平面までの距離を求めます。

解決

座標平面Oyzはx=0の形式に等しくなります。平面Oyzの場合は正常です。 したがって、ウィンドウの左側に値x = -3を指定し、その値のモジュールを、平面までの座標M 1（-3、2、-7）の点の形で取得する必要があります。 。 良い値を取ります-3=3。

将来、平面2 y-5 = 0の通常の位置合わせの後、y-5 2=0を調べます。 次に、座標M 1（-3、2、-7）の点から平面2 y-5=0までの距離を知ることができます。 その計算を代入して、2-5 2 \ u003d52-2を取ります。

提案： VіdstanはM1（-3、2、-7）をO yzmaє値3に、そして2y-5=0maє値52-2にvіdしました。

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