П
Глушач В.С. УІТ-44
Освоєння роботи у MathCad. Набуття навичок використання перетворення Лапласа для аналізу спектральних складових сигналів. Вивчення часових та частотних шкал тимчасового ряду та перетворення Фур'є.
1. Генеруємо тимчасовий ряд із трьох синусоїд. Кількість точок має дорівнювати 2 ^ n
2. Визначаємо середню дисперсію.
3. Робимо пряме та зворотне перетворення Ф. Двічі перетворений сигнал накладаємо на графік вихідного часового ряду.
4. Знаходимо співвідношення між шкалою часового ряду по осі часу та перетворення Фур'є по осі частот.
1. Вибираємо дискретність за часом dt та кількість точок тимчасового ряду у вигляді nl:= 2 k
Нехай:= 9 nl:= 2 k nl=512 Довжина вибірки в часі T:=512
Ш 
аг по Або, враховуючи, що nl-1
часу приблизно дорівнює nl Тоді i:=0..nl-l t. := i*dt
2. Генеруємо вхідний сигнал х як суму трьох гармонійних сигналів та визначаємо його основні статистики.
А1:= 1 f1:= 0.05 xl i:= Al-sin/2*3.14*fl*t i) srl:= mean(xl) srl = 0.012 s1:=stdev(x1) s1=0.706
A2:= 0.5 f2:= 0.1 x2 i:= A2-sin/2*3.14*f2*t i) sr2:= mean(x2) sr2 = 3.792x10 -4 s2:=stdev(x2) s2=0.353
A3:= 0.25 f3:= 0.4 x3 i:= A3-sin/2*3.14*f3*t i) sr3:= mean(x3) sr3 = 3.362x10 -4 s3:=stdev(x3) s3=0.177
x i:= xl i + x2 i + x3 i sry: = mean (x) sry = 0.013 sy:= stdev(x) sy = 0.809
1. Пряме перетворення Фур'є на MathCad F:= fft(x)
Максимальний період гармонійної складової, яка може бути в часовому ряді дорівнює довжині вибірки. Ця гармонійна складова відповідає мінімально можливій частоті за шкалою частот перетворення Фур'є frnin і відповідно до кроку по осі частот перетворення Фур'є df.
Tmax:= T frnin:= 
df:= frnin df = 1.953 x 10 -3
Таким чином, мінімальна частота та крок за частотою перетворення Фур'є дорівнюють frnin = df = 1/Т.
Перетворення Фур'є має кількість ординат за частотою вдвічі меншою від кількості ординат тимчасового ряду у часі n2=nl/2 або, включаючи нульову точку (у якій перетворення Фур'є не визначено)
n2:= 1 + 2 k -1 n2 = 257 j:= l..n2
Індекс поточної частоти змінюється від j=l до j=n2
У цьому частота змінюється від fmin =df= 1/T Максимальна частота finax:= n2*df fmax = 0.502
до frnax=n2*df Поточна частота f i:= i*df
f 1 = 1.953 x 10 -3 f 257 = 0.502
Про 
Звернемо увагу, що перетворення Фур'є визначено тільки для частот в діапазоні від f=finin до f=fmax.
При цьому піки на графіку спектра Фур'є відповідають частотам вихідних синусоїд, тобто перетворення Фур'є дозволяє виділити частотні компоненти сигналу. Але амплітуди гармонійних складових зараз не відображають амплітуди складових вихідного часового ряду (де А1 = 1, А2 = 0.5, А3 = 0.25)
Звернемо також увагу, що при dt = 1 максимальна частота спектрі перетворення Фур'є дорівнює frnax = 0.5 коливань в одиницю шкали часу. При dt = 1сек це fmax = 0.5 гц. У цьому період максимальної частоти дорівнює Тfmax=1/0.5=2. Це означає, що на період максимальної частоти припадає два відбори часового ряду. Це відповідає теоремі Котельникова, згідно з якою для відновлення гармонійного безперервного сигналу з дискретного без втрати інформації на період має бути не менше двох відліків у часі.
3. Проведемо перевірку збігу часових рядів до і після подвійного перетворення Фур'є. І тому отримаємо зворотне перетворення Фур'є від отриманого прямого перетворення. Воно має збігатися з вихідним тимчасовим рядом, що підтверджується наступним графіком FF: = ifft (F)
Оскільки результатом інтерполяційних формул Ньютона і Лагранжа є той самий поліном N –го порядку, їх похибка поводиться однаково.
Приклад 3.4. Для вихідних даних, використаних у прикладі 3.1, обчислимо значення поліном Ньютона. Спочатку заповнимо таблицю розділених різниць:
F(xi, xj) |
F(xi, xj, xk) |
F(x0, x1, x2, x3) |
z-xi |
||
Використовуючи формулу Ньютона, отримаємо:
P 3 (1)= –1+0.6 1+(–0.1) 1 (–1)+0.0857 1 (–1) (–2)= –0.129.
3.6 Ряди Фур'є
Ряд Фур'є дозволяє вивчати як періодичні, і неперіодичні функції, розкладаючи їх у компоненти. Змінні струми та напруги, зміщення, швидкість та прискорення кривошипно-шатунних механізмів, акустичні хвилі – це типові практичні приклади застосування періодичних функцій в інженерних розрахунках. У термінах обробки сигналів перетворення Фур'є бере уявлення функції сигналу як тимчасових рядів і відображає їх у частотний спектр. Тобто воно перетворює функцію часу на функцію частоти; це розкладання функції гармонійні складові різних частотах. Перетворення Фур'є може уявити сигнал, змінюється у часі, як залежності частоти і амплітуди, також воно дає інформацію про фазі (рис.3.4).
Розкладання в ряд Фур'є грунтується на припущенні, що всі функції, що мають практичне значення, в інтервалі π ≤x≤ π можна виразити у вигляді схожих тригонометричних рядів (ряд вважається схожим, якщо сходиться послідовність часткових сум, складених з його членів).
Згідно з гіпотезою Фур'є немає функції, яку не можна було б розкласти в тригонометричний ряд. Розкладемо функцію f (t ) у рядок на відрізку [–π, π]
f (t ) = a 0 /2 + a 1 cos(t ) + a 2 cos(2t ) + a 3 cos(3t ) + … + b 1 sin(t ) + b 2 sin(2t ) + b 3 sin (3t )+…,
де n-і елементи ряду виражаються як
f(t) cos(nt)dt , |
|||||
Мал. 3.4. Ілюстрація до розкладання до ряду Фур'є
Коефіцієнти a n і b n називають коефіцієнтами Фур'є, А представлення функції f (t) за формулою (3.1) - розкладанням у ряд Фур'є. Іноді розкладання до ряду Фур'є, представлене у такому вигляді, називають дійсним розкладанням до ряду Фур'є, а коефіцієнти – дійсними коефіцієнтами Фур'є (на відміну від комплексного розкладання).
Проаналізуємо вирази (3.2) та (3.3). Коефіцієнт a 0 являє собою середнє значення функції f (t) на відрізку [-π, π] або постійну складову сигналу f (t). Коефіцієнти a n і b n (при n > 0) – це амплітуди косинусних та синусних складових функції (сигналу) f (t ) з кутовою частотою, що дорівнює n . Іншими словами, дані коефіцієнти задають величину частотних складових сигналів. Наприклад, коли ми говоримо про звуковий сигнал з низькими частотами (наприклад, звуки бас-гітари), це означає, що коефіцієнти a n і b n більші за менших значень n і навпаки – у високочастотних звукових
коливаннях (наприклад, звук скрипки) більше за великих значень n .
Коливання найбільшого періоду (або найнижчої частоти), представлене сумою a 1 cos (t) і b 1 sin (t) називають коливанням основної частоти або першою гармонікою. Коливання з періодом, що дорівнює половині періоду основної частоти – другий гармонікою, коливання з періодом рівним 1/n основної частоти – n-гармонікою. Таким чином, за допомогою розкладання функції f (t) в ряд Фур'є, ми можемо здійснити перехід з тимчасової області до частотної. Такий перехід зазвичай необхідний виявлення особливостей сигналу, які «непомітні» у часовій області.
Зауважимо, що формули (3.2) і (3.3) застосовні для періодичного сигналу з періодом рівним 2π. У випадку Фур'є можна розкласти періодичний сигнал з періодом T , тоді при розкладанні використовується відрізок [–T /2, T /2]. Період першої гармоніки дорівнює T і складові візьмуть вигляд cos(2πt /T ) і sin(2πt /T ), складові n-гармоніки - cos(2πtn /T ) і sin(2πtn /T ). Якщо позначити кутову частоту першої гармоніки ω0 = 2π/T тоді складові n-гармоніки набувають вигляду cos(ω0 nt ), sin(ω0 nt ) і
cos(nt) b sin(nt), |
||||||||||||||
f(t) |
||||||||||||||
де коефіцієнти Фур'є обчислюються за формулами |
||||||||||||||
T/2 |
(t) cos(0 nt) dt, |
T/2 |
f(t) sin(0 nt) dt. |
|||||||||||
T/2 |
T/2 |
|||||||||||||
Розкладання до ряду Фур'є використовується для гармонійного чи спектрального аналізу періодичних сигналів. Для спектрального аналізу неперіодичних сигналів використовується перетворення Фур'є.Для цього ряд (3.4) представимо, використовуючи систему базисних функцій у вигляді експонента з уявними показниками:
2 j nt |
||||||
f(t) |
C n exp( |
|||||
T/2 |
2 j nt |
|||||
f(t) exp( |
||||||
T/2 |
||||||
Опустивши ряд викладок, вираз (3.6) запишемо у вигляді
C () f (t) exp (j t) dt.
Ця формула називаєтьсяпрямим перетворенням Фур'є чи перетворенням Фур'є. Зазвичай перетворення Фур'є позначають тією ж (тільки великою) літерою, що і апроксимована функція (яка зазвичай позначається рядковою бук-
F () f (t) exp (j t) dt.
Функція F(ω) називається функцією спектральної щільності(або просто спектральної щільністю, перетворенням Фур'є, Фур'є-образом). Область значень функції F (ω) у випадку є безліч комплексних чисел.
Зворотне перетворення Фур'є , Що забезпечує восста-
новлення вихідної функції f (t ) за функцією спектральної щільності обчислюється наступним чином
f(t) F() exp(j t)dt.
Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ, DFT - Discrete Fourier Transform) - це одне з перетворень Фур'є, що широко застосовуються в алгоритмах цифрової обробки сигналів (його модифікації застосовуються в стисненні звуку в MP3, стисненнізображень в JPEG та ін), а також в інших областях, пов'язаних з аналізом частот у дискретному (наприклад, оцифрованому аналоговому) сигналі. Дискретне перетворення Фур'є вимагає як вход дискретну функцію. Такі функції часто створюються шляхом дискретизації (вибірки значень із безперервних функцій). Недоліком даного алгоритму є великий обсяг обчислень, що повторюються. Усунення цих надлишкових операцій призводить до так званого алгоритму
швидкого перетворення Фур'є, який зазвичай використовується.
Швидке перетворення Фур'є (БПФ, FFT) – алгоритм швидкого обчислення дискретного перетворення Фур'є (ДПФ). Тобто алгоритм обчислення за число дій, менший за O(N 2 ), потрібних для прямого (за формулою) обчислення ДПФ (N - кількість значень сигналу, виміряних за період, а також кількість компонентів розкладання). Іноді під БПФ розуміється одинз швидких алгоритмів, званий алгоритмом проріджування за частотою/часом або алгоритмом на підставі 2.
Для того щоб реалізувати перетворення Фур'є в пакеті MathCAD, необхідно на панелі Symbolic вибрати оператор fourier для прямого перетворення та invfourier - для зворотного. Цей оператор потрібно помістити слідом за функцією, яку потрібно перетворити, а як єдиний параметр потрібно вказати змінну, щодо якої ця функція буде перетворена. Приклади використання показу-
ни рис. 3.5 для функції f (t) e 2 t і на рис. 3.6 де до функції f (t ) застосовується амплітудно-частотна модуляція, а далі результат розкладається в ряд.
Мал. 3.5. Приклад розкладання ряд Фур'є за допомогою символьної функції fourier
Мал. 3.6. Приклад розкладання ряд Фур'є за допомогою символьної функції fourier
MathCAD містить функції для швидкого дискретного перетворення Фур'є (БПФ) та його обігу. Існує два типи функцій для дискретного перетворення Фур'є: fft та ifft, cfft та icfft. Ці функції дискретні: вони беруть як аргументи і повертають вектори та матриці.
Функції fft та ifft використовуються, якщо виконані такі умови: (1) аргументи речові; (2) вектор даних має 2m елементів.
У всіх інших випадках використовуються функції cfft та icfft.
Дотримуватись першої умови необхідно, тому що функції fft і ifft використовують той факт, що для речових даних друга половина перетворення Фур'є є комплексно – пов'язаною з першою. MathCAD відкидає другу половину вектора результату, що зберігає час та пам'ять під час обчислень. Пара функцій cfft та icfft не використовують симетрію у перетворенні та можуть використовуватися для речових та комплексних чисел.
Друга умова потрібна, тому що пара функцій fft та ifft використовують високоефективний алгоритм швидкого перетворення Фур'є. Для цього вектора аргументу,
го функцією fft має складатися з 2m елементів. Алгоритм функцій cfft та icfft допускає як аргументи вектори та матриці довільного розміру. Для двовимірного перетворення Фур'є використовуються ці функції. Функції fft та ifft , cfft та icfft взаємно зворотні один одному, тобто справедливо:
та icfft(cfft(v)) v . |
На рис. 3.7 проілюстровано використання функцій ff t(v) та ifft(v) для сигналу синусоїдальної форми, на який накладені перешкоди за допомогою функції rnd(x) , що генерує випадкові числа в діапазоні від 0 до x.
Мал. 3.7. Пряме та зворотне перетворення Фур'є за допомогою функцій fft та ifft
На даних графіках наведено Фур'є образ сигналу c і порівняння вихідного сигналу x з відновленим Фур'є-образу. Більш детально про Фур'є-аналіз можна прочитати в і.
3.7 Метод найменших квадратів
У всіх вищевикладених методах наближення функції умови інтерполяції виконували точно. Однак у тих випадках, коли вихідні дані x i , f i , i = 1, ..., N, задані з деякою похибкою, можна вимагати лише наближене вико-
ня умов інтерполяції: |F(x i ) – f i |< . Это условие означает, что интерполирующая функция F(x) проходит не точно через заданные точки, а в некоторой их окрестности, так, например, как это показано на рис. 3.8. Приблизим исходные данные глобальным полиномом. Если решать задачу интерполяции точно, то полином должен иметь степень N . При рассмотрении полинома Лагранжа мы выяснили, что полином N –й степени хорошо приближает исходную функцию только при небольших значениях N .
Мал. 3.8. Наближене до виконання умов інтерполяції
Шукатимемо поліном низького ступеня, наприклад, P 3 (x )=a 1 +a 2 x+a 3 x 2 +a 4 x 3 . Якщо N >4, то точне завдання рішень немає: для чотирьох невідомих коефіцієнтів (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) умови інтерполяції дають N >4 рівнянь. Але тепер точного виконання умов інтерполяції не потрібно, ми хочемо, щоб поліном проходив поруч із заданими точками. Існує багато таких поліномів, кожен із яких визначається своїм набором коефіцієнтів. Серед усіх можливих поліномів цього виду виберемо той, що має найменше середньоквадратичне відхилення у вузлах інтерполяції заданих значень, тобто. багаточлен повинен бути найближчим до заданих точок з усіх можливих багаточленів третього ступеня в сенсі методу найменших квадратів(МНК). У i-й точці по-
ліном P 3 (x) відхиляється від значення f i на величину (P 3 (x i) - f i). Підсумовуємо квадрати відхилень полінома по всіх точках i = 1, 2, ..., N, отримаємо функціонал квадратів відхилень:
G(a1 ,a2 ,a3 ,a4 ) (P3 (xi) fi )2 |
a2 xi a3 xi 2 a4 xi 3 fi)2. |
|
Знайдемо мінімум цього функціоналу. Для цього прирівняємо нулю його похідні по змінних a 1 , a 2 , a 3 , a 4 . Використовуючи стандартні правила диференціювання, отримаємо:
2 (a 1 |
a2 xi a3 xi 2 a4 xi 3 fi ) 0 |
||||||
a3 xi 2 a4 xi 3 fi ) 0 |
|||||||
G 2 xi (a1 a2 xi |
|||||||
2 x i 2 (a 1 |
a2 xi |
a3 xi 2 a4 xi 3 fi ) 0 |
|||||
2 x i 3 (a 1 |
a2 xi |
a3 xi 2 a4 xi 3 fi ) 0 |
|||||
Збираючи коефіцієнти при невідомих a i отримаємо СЛАУ щодо вектора невідомих (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ):
N a1 xi a2 xi 2 |
a3 xi 3 a4 fi |
|||||||
xi 2 a2 |
xi 3 a3 |
xi 4 |
f i x i |
|||||
xi 2 a1 |
xi 3 a2 |
xi 4 a3 |
xi 5 |
f i x i2 |
||||
xi 3 a1 |
xi 4 a2 |
xi 5 a3 |
xi 6 |
f i x i3 |
||||
Отримана система називається нормальною. Для її вирішення використовують стандартні методи розв'язання СЛАУ. Як правило, кількість невідомих системи (тобто кількість коефіцієнтів інтерполюючої функції) невелика, тому можна використовувати точні методи рішення СЛАУ, наприклад, метод Крамера або метод Гауса. Метод найменших квадратів дозволяє наблизити вихідні дані за допомогою лінійної комбінації будь-яких елементарних функцій. Часто використовуються наближення лінійної F (x )=a 1 +a 2 x, , тригонометричної F (x )=a 1 sin(x )+a 2 cos(x ), експоненційної F (x )=a 1 e x
N a1 xi a2
xi a1 xi 2 a2 fi xi
Обчислюємо
xi 2 ,
f i x i ,
підставляємо в нормальну
Мал. 3.9. Підбір лінійної
5 a 1.4a
залежності МНК
0.148. Графік функції F(x)=-0.04+0.57x показаний на рис. 3.9 суцільною лінією. Точками показані вихідні дані. Можна побачити, що знайдена лінійна функція справді наближає задані точки.
У MathCAD метод найменших квадратів тісно пов'язаний з лінійною регресією (y(x) = b + ax ), оскільки коефіцієнти a і b обчислюють з умови мінімізації суми квадратів помилок | b + ax i - y i | Для розрахунку в MathCAD є два дублюючі один одного способи:
line (x, y) повертає вектор із двох елементів коефіцієнтів лінійної регресії b + ax;
П
Глушач В.С. УІТ-44
Освоєння роботи у MathCad. Набуття навичок використання перетворення Лапласа для аналізу спектральних складових сигналів. Вивчення часових та частотних шкал тимчасового ряду та перетворення Фур'є.
1. Генеруємо тимчасовий ряд із трьох синусоїд. Кількість точок має дорівнювати 2 ^ n
2. Визначаємо середню дисперсію.
3. Робимо пряме та зворотне перетворення Ф. Двічі перетворений сигнал накладаємо на графік вихідного часового ряду.
4. Знаходимо співвідношення між шкалою часового ряду по осі часу та перетворення Фур'є по осі частот.
1. Вибираємо дискретність за часом dt та кількість точок тимчасового ряду у вигляді nl:= 2 k
Нехай:= 9 nl:= 2 k nl=512 Довжина вибірки в часі T:=512
Ш 
аг по Або, враховуючи, що nl-1
часу приблизно дорівнює nl Тоді i:=0..nl-l t. := i*dt
2. Генеруємо вхідний сигнал х як суму трьох гармонійних сигналів та визначаємо його основні статистики.
А1:= 1 f1:= 0.05 xl i:= Al-sin/2*3.14*fl*t i) srl:= mean(xl) srl = 0.012 s1:=stdev(x1) s1=0.706
A2:= 0.5 f2:= 0.1 x2 i:= A2-sin/2*3.14*f2*t i) sr2:= mean(x2) sr2 = 3.792x10 -4 s2:=stdev(x2) s2=0.353
A3:= 0.25 f3:= 0.4 x3 i:= A3-sin/2*3.14*f3*t i) sr3:= mean(x3) sr3 = 3.362x10 -4 s3:=stdev(x3) s3=0.177
x i:= xl i + x2 i + x3 i sry: = mean (x) sry = 0.013 sy:= stdev(x) sy = 0.809
1. Пряме перетворення Фур'є на MathCad F:= fft(x)
Максимальний період гармонійної складової, яка може бути в часовому ряді дорівнює довжині вибірки. Ця гармонійна складова відповідає мінімально можливій частоті за шкалою частот перетворення Фур'є frnin і відповідно до кроку по осі частот перетворення Фур'є df.
Tmax:= T frnin:= 
df:= frnin df = 1.953 x 10 -3
Таким чином, мінімальна частота та крок за частотою перетворення Фур'є дорівнюють frnin = df = 1/Т.
Перетворення Фур'є має кількість ординат за частотою вдвічі меншою від кількості ординат тимчасового ряду у часі n2=nl/2 або, включаючи нульову точку (у якій перетворення Фур'є не визначено)
n2:= 1 + 2 k -1 n2 = 257 j:= l..n2
Індекс поточної частоти змінюється від j=l до j=n2
У цьому частота змінюється від fmin =df= 1/T Максимальна частота finax:= n2*df fmax = 0.502
до frnax=n2*df Поточна частота f i:= i*df
f 1 = 1.953 x 10 -3 f 257 = 0.502
Про 
Звернемо увагу, що перетворення Фур'є визначено тільки для частот в діапазоні від f=finin до f=fmax.
При цьому піки на графіку спектра Фур'є відповідають частотам вихідних синусоїд, тобто перетворення Фур'є дозволяє виділити частотні компоненти сигналу. Але амплітуди гармонійних складових зараз не відображають амплітуди складових вихідного часового ряду (де А1 = 1, А2 = 0.5, А3 = 0.25)
Звернемо також увагу, що при dt = 1 максимальна частота спектрі перетворення Фур'є дорівнює frnax = 0.5 коливань в одиницю шкали часу. При dt = 1сек це fmax = 0.5 гц. У цьому період максимальної частоти дорівнює Тfmax=1/0.5=2. Це означає, що на період максимальної частоти припадає два відбори часового ряду. Це відповідає теоремі Котельникова, згідно з якою для відновлення гармонійного безперервного сигналу з дискретного без втрати інформації на період має бути не менше двох відліків у часі.
3. Проведемо перевірку збігу часових рядів до і після подвійного перетворення Фур'є. І тому отримаємо зворотне перетворення Фур'є від отриманого прямого перетворення. Воно має збігатися з вихідним тимчасовим рядом, що підтверджується наступним графіком FF: = ifft (F)
Тригонометричні ряди Фур'є за допомогою Mathcad.
Мета роботи
Навчитися розкладати періодичні функції у тригонометричні ряди Фур'є за допомогою Mathcad та будувати графіки часткових сум ряди Фур'є.
Устаткування
Пакет програм MathCAD.
Хід роботи
варіант
1) Розкласти функцію в тригонометричний ряд Фур'є
2) Розкласти функцію в тригонометричний ряд Фур'є по косинусах
3) Розкласти функцію в тригонометричний ряд Фур'є за синусами
Допуск до роботи
3.2.1 Тригонометричним рядом Фур'є функції називають функціональний ряд виду
3.2.4 Для функції f(x) обчислені коефіцієнти Фур'є (при розкладанні її за косинусами)
a 1 = 5, a 2 = 6, a 3 = 7
Запишіть тригонометричний ряд Фур'є
3.2.5 Функцію f(x) розкладають у ряд Фур'є за синусами (непарним чином), тоді
| Аркуш |
| № докум. |
| Підпис |
| Аркуш |
| № докум. |
| Підпис |
| Дата |
| Аркуш |
3.1.2. Знайти числові характеристики випадкової величини x (x – виграш власника одного лотерейного білета).
У лотереї розігруються ____ квитків.
З них виграють по ____ рублів
У тому числі виграють по ____ рублів.
3.1.3. Знайти числові характеристики випадкової величини «х»
а). 0,15 б) -0,35 в) 0,35 г) 0,25 д) не визначити.
3.2.3 У лотереї 200 квитків. 30. Яка ймовірність того, що квиток не виграшний?
а). 1,7 б) 0,7 в) 0,17 г) 0,85 д) 0,15
3.2.4 Запишіть формулу обчислення дисперсії дискретної випадкової величини.
3.2.5 Запишіть формулу для обчислення середнього квадратичного відхилення дискретної випадкової величини.
________________________________________________________________________________
3.2.6. Д (у) = 25. Чому дорівнює середнє квадратичне відхилення?
а). ± 5 б) 5 в) -5 г) не визначити.
3.2.7 Як у MathCAD можна вирішити рівняння
______________________________________________________________________________
До роботи допускається ______________
Результати роботи
4.1. М(х) = ____________ Д(х) = ____________ σ(х) = ___________
| Аркуш |
| № докум. |
| Підпис |
| Дата |
| Аркуш |
| ПР.140448.00.00 |
Знаходження точкових та інтервальних оцінок
невідомих параметрів розподілу в Excel
1. Мета роботи
За цією вибіркою навчитися визначати числові характеристики вибірки та оцінювати невідомі параметри генеральної сукупності, оцінювати з цією довірчою ймовірністю математичне очікування генеральної сукупності.
2.Обладнання:
IBM PC, програмна оболонка Microsoft Excel.
Хід роботи
3. 1 Варіант
Оцінити із заданою довірчою ймовірністю γ= математичне очікування генеральної сукупності за даною вибіркою
_____________________________________________________________________________________
3. 2 Допуск до роботи
1. Як обчислюється середнє вибіркове?
2. Як обчислюється вибіркова дисперсія?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. Як обчислюється середнє квадратичне відхилення?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Як обчислюється виправлена вибіркова дисперсія?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Чим точкова оцінка невідомого параметра розподілу відрізняється від інтервальної?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. Як обчислюється інтервал з метою оцінки математичного очікування генеральної сукупності?
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Як позначається коефіцієнт Стьюдента?
| Змін. |
| Аркуш |
| № докум. |
| Підпис |
| Дата |
| Аркуш |
| ПР.140448.00.00 |
8. Від чого залежить величина коефіцієнта Стьюдента?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
До роботи допускається:______________________________________________
Результати роботи
σ в = S в = t γ =
Висновок
У ході виконання цієї роботи застосував формули точкових та інтервальних оцінок____________________________________________________________
_________________________________________________________________
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||