$p$ nazywa się liczbą prostą, inaczej mówiąc $2$ jest równe: $1$ i samej sobie.

Dilnik Liczba naturalna$a$ nazywa się liczbą naturalną, tak jak liczba $a$ jest podzielna bez nadmiaru.

Tyłek 1

Znajdź liczby 6 $.

Rozwiązanie: Musimy znać wszystkie liczby, dla których podana jest liczba 6$, które należy podzielić bez nadmiaru. Będą to liczby: 1,2,3, 6 dolarów. Liczba $6$ będzie wówczas równa liczbom $1,2,3,6.$

Werdykt: 1,2,3,6 $.

Aby więc poznać liczby liczb, musisz znać wszystkie liczby naturalne, w których można je podzielić bez nadmiaru. Należy zauważyć, że liczba $1$ będzie krewną dowolnej liczby naturalnej.

Wicennia 2

Składany podaj numer, który ma jednego i innych dłużników.

Koniec liczby pierwszej może wynosić 13,$, koniec liczby giełdowej wynosi 14,$

Notatka 1

Liczba $1$ to tylko jedna liczba, ta sama liczba, której nie można uznać ani za prostą, ani za magazynową.

Wzajemnie liczby pierwsze

Wicecenzennia 3

Proste liczby razem nazywane są tymi, których GCD są równe 1 $. Oznacza to, że aby określić, które liczby będą wzajemnie proste, musisz znać ich GCD i zrównać je z 1 $.

Prosto do siebie w parach

Vicenchennya 4

Jeżeli w zbiorze liczb dowolne dwie są wzajemnie pierwsze, to takie liczby nazywamy przebaczajcie sobie nawzajem w parach. W przypadku dwóch liczb pojęcia „wzajemnie pierwsze” i „wzajemnie pierwsze parami” są identyczne.

Tyłek 2

8 dolarów, 15 dolarów – nie proste, ale wzajemnie proste.

6, 8, 9 $ to liczby wzajemnie pierwsze, ale nie liczby pierwsze parami.

8, 15, 49 $ - proste w parach.

W rzeczywistości, aby obliczyć liczby, które są wzajemnie proste, należy je najpierw posortować na proste mnożniki. Mam ogromny szacunek do tych, którzy robią to dobrze.

Układanie prostych mnożników

Na przykład liczbę 180 $ można podzielić na proste mnożniki:

180 $ = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Siła kroków zostaje przyspieszona, a następnie odrzucona,

180 $ = 2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Taki zapis rozkładu prostych mnożników nazywa się zatem kanonicznym. Aby podzielić liczbę na czynniki w postaci kanonicznej, należy szybko skorzystać z potęgi kroków i przedstawić liczbę w postaci liczby stopni z różnymi podstawnikami

Kanoniczny układ liczby naturalnej w ujęciu zagalskim

Rozkład kanoniczny liczby naturalnej w widoku zagal wygląda następująco:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

gdzie $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ są liczbami pierwszymi, a wskaźnikami kroków są liczby naturalne.

Odkrycie liczby w postaci rozkładu kanonicznego na mnożnik liczby pierwszej ułatwia odkrycie największej liczby liczb, a w efekcie dowód wartości liczb wzajemnie pierwszych.

Tyłek 3

Znajdź największy śpiący rolnik numery 180 $ i 240 $.

Rozwiązanie: Rozłóżmy liczby na proste mnożniki, korzystając z rozkładu kanonicznego

180 $ = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, następnie 180 $=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

240 $ = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, następnie 240 $=2^4\cdot 3\cdot 5$

Teraz znamy gcd tych liczb, dla których wybieramy krok o tej samej podstawie i krok o najmniejszym wskaźniku, to

$gcd\(180; 240) = 2^2\cdot 3\cdot 5 = 60$

Możliwość przechowywania algorytm znajdowania GCD z układem rozkładu kanonicznego na proste mnożniki.

Aby znaleźć największe rodzeństwo dwóch liczb za pomocą obliczeń kanonicznych, musisz:

1. klasyfikować liczby na proste mnożniki w sposób kanoniczny
2. wibruj krok o tej samej podstawie i przy najmniejszym wskaźniku krok, który wchodzi przed układem tych liczb
3. Dowiedz się więcej o liczbach znalezionych na mapie 2. Znaleziona liczba będzie największą, jaką możesz znaleźć.

Tyłek 4

Oznacza to, że liczby 195 $ i 336 $ będą liczbami pierwszymi, wzajemnie pierwszymi.

195 $ = 3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$gcd\(195; 336) = 3\cdot 5 = 15$

Uważamy, że GCD tych liczb jest równy 1 $, więc liczby te nie są wzajemnie pierwsze. Ważne jest też, żeby przed magazynem każdej liczby były mnożniki, oprócz 1$ i samej liczby, co oznacza, że ​​proste liczby nie będą takie proste, a będą magazyny.

Tyłek 5

Oznacza to, że liczby 39 $ i 112 $ będą liczbami pierwszymi, wzajemnie pierwszymi.

Rozwiązanie: Szybszy sposób pomnożenia układów kanonicznych:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$gcd\(39; 112) = 1$

Mi, gcd tych liczb jest równe 1 $, więc liczby są wzajemnie pierwsze. Ważne jest też, aby przed magazynem każdej liczby znajdowały się mnożniki, oprócz 1 dolara i samej liczby, co oznacza, że ​​proste liczby same w sobie nie będą takie, a będą magazynami.

Tyłek 6

Liczby 883 $ i 997 $ są proste i wzajemnie pierwsze.

Rozwiązanie: Szybszy sposób pomnożenia układów kanonicznych:

883 $ = 1\ckropka 883 $

997 $ = 1 \ cdot 997 $

$gcd\(883;997) = 1$

Mi, gcd tych liczb jest równe 1 $, więc liczby są wzajemnie pierwsze. Ważne jest również, aby w skład każdej liczby wchodziły tylko mnożniki równe 1 $ i sama liczba, co oznacza, że ​​liczby będą proste.

Podaj dwie liczby naturalne wybaczcie mi wzajemnie, ponieważ ich jedynym partnerem jest 1, lub ich największy partner jest równy 1. Patrząc na podstawowe twierdzenie arytmetyki, możemy powiedzieć, że dwie liczby naturalne są wzajemnie proste I tylko wtedy, jeśli smród nie będzie się utrzymywał we śnie biznesmeni.

Należy na przykład pamiętać, że liczby 4 i 9 są wzajemnie proste, ale poza tym nie są one wybaczane. A liczbę 1 można łatwo odwzajemnić dowolną inną liczbą, oprócz niej samej.

W tym celu zupełnie nie do pomyślenia jest, aby były tylko dwie liczby – można to dosłownie przenieść na dowolną liczbę liczb naturalnych. Na przykład liczby 6, 10, 15 są wzajemnie proste, chociaż na co dzień są oczywiście wzajemnie proste.

Siła wzajemnej prostoty przenoszenie i bezosobowość liczb całkowitych. Dzięki temu wynikowi wartość - dla liczb naturalnych - jest naturalnie korygowana: liczba całkowita zawsze ma dwie części - 1 i -1, tak że dwie liczby całkowite nazywane są wzajemnie pierwszymi, ponieważ ich liczby naturalne mają więcej niż 1 i -1.

Wtedy druga opcja zostaje zapisana dosłownie: dwie liczby całkowite są wzajemnie pierwsze i wtedy, jeśli są podobne, jest wiele liczb pierwszych.

Znaczące jest również to, że czasami istnieje nie do końca dokładne sformułowanie typu „dwie liczby - liczby naturalne lub cele - nazywane są wzajemnie prostymi, ponieważ smród nie przeszkadza śpiącym”. I tutaj jest tak, jakby zapomnieć o 1 i -1. To „zapomnienie” jest uzasadnione faktem, że 1 i -1 są trywialnymi partnerami, śmierdzą na zawsze, a tę różnicę można wykorzystać do ochrony matki przed szacunkiem.

Naprawdę smutno jest dojść do wniosku z oczywistego twierdzenia: każda liczba prosta p jest wzajemnie równa dowolnej liczbie, która nie jest podzielna przez p.

Oczywiste jest, że liczbę całkowitą nazywa się liczbą prostą, ponieważ jest liczbą pierwszą, a jej moduł jest liczbą naturalną. Ta sformalizowana szkolna koncepcja liczby pierwszej jest całkowicie naturalna: możliwe jest również rozsądne, nietrywialne rozwinięcie liczby na czynniki i z tego punktu widzenia liczby, powiedzmy, 5 i -5 są całkowicie równe : rozwinięcie -5 = (-5) wow, głupie, trywialne.

W przypadku wzajemnie pierwszych liczb całkowitych jest to niezwykle ważne i istotne z punktu widzenia zadań i postępów kryterium wzajemnej prostoty dwóch liczb całkowitych: liczby całkowite a i b są wzajemnie proste i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby całkowite u i v, tzw au+ bv = 1.

Potęga ta jest jednak wyraźnie błędna, gdyż o liczbach naturalnych mówią tylko ludzie: oczywiście nie ma takich liczb naturalnych u i v, które 2u + Zv = 1.

Na podstawie samej potęgi można niezależnie od głównego twierdzenia stwierdzić, że jeśli dodanie dwóch liczb całkowitych jest podzielne przez liczbę pierwszą p, to jeśli jedna z tych liczb jest podzielna przez p. Prawdą jest, że skoro a i p nie są podzielne przez p, to a i p są wzajemnie proste, to dla działań u i v równa się au + рv = 1, gwiazdy abu + bрv = b więc co b jest dzielone przez r.

Przede wszystkim za dowodem podstawowych twierdzeń arytmetyki kryje się prawda.

Jednocześnie udowodnienie samego kryterium wzajemnej prostoty nie jest tak trudne, ale raczej kłopotliwe i oparte na Algorytmy Euklidesa znaleźć największą dychotomię dwóch liczb naturalnych i całkowitych.

Znając te twierdzenia, można nie tylko kierować się regułami matematycznymi. A także, jeśli podoba Ci się program, ta wiedza pomoże Ci pokonać tę konkurencję.

słowa kluczowe: teoria liczb, wykłady, liczby wzajemnie pierwsze.

Wiznachennya. Liczby całkowite a i b nazywane są wzajemnie prostymi, ponieważ (a, b) = 1.

Dwie liczby a i b są wzajemnie proste tylko wtedy, gdy istnieją liczby całkowite u i v takie, że au + bv = 1.

Niech X = ( x n | n = 1, 2, ...) będzie wystarczająco rosnącym ciągiem liczb naturalnych (lub, jak zawsze, X jest wystarczającym podzbiorem liczb naturalnych, uporządkowanym według porządku naturalnego). Co istotne, przez ξ(N; X) jest liczba elementów ciągu X taka, że ​​nie przekracza ona N .

Wiznachennya. Liczbę nazywa się (górną asymptotyczną) siłą ciągu X = (x n | n = 1, 2, ...) mnożnika N.

tyłek 1. Niech x n = 2n, gdzie n przebiega przez N, - Ciąg liczb wszystkich facetów. Oczywiście

Dobrze jest między innymi wykorzystać nasze intuicyjne spostrzeżenie o tym, że jest połowa tych samych liczb.

tyłek 2. Niech x n = 2 n, gdzie n przebiega przez N – postęp geometryczny. Intuicyjnie widać, że takich liczb w szeregu naturalnym jest niewiele, gdyż w miarę „wchodzenia w las” wzdłuż szeregu naturalnego etap dwójki staje się węższy. Koncepcję wytrzymałości potwierdza wzór: ξ (2 k; ( x n )) = k i łatwo to sprawdzić

gustina- możliwość skuszenia liczby z szeregu naturalnego, którą należy przypisać do ciągu.

Podobnie jak w przypadku liczby ciągów, liczbę par liczb naturalnych można również wykorzystać do określenia liczby par liczb naturalnych. Niech będzie wystarczająca wielokrotność X par liczb naturalnych. Jest to istotne poprzez ξ (N; X) liczbę par mnożnika X, którego składnik skórny nie przewyższa N. Korisno pokazuje parę liczb z mnożnika X jako współrzędną punktu na płaszczyźnie współrzędnych, wówczas ξ (N; X) jest po prostu liczbą punktów mnożnika X, które są podniesione do kwadratu (( x , y) | 0< x ≤ N ; 0 < y ≤ N }.

Wiznachennya. Numer

nazywa się (górną asymptotyczną) siłą krotności par X w krotności N 2.

Tyłek 3. Niech X będzie bezsensowną ze wszystkich par liczb naturalnych, w których pierwszy składnik jest ściśle większy od drugiego. Beztwarzowe X reprezentuje punkty pierwszej ćwiartki płaszczyzny współrzędnych, które leżą pod dwusieczną y = x. Siła takiej wielości jest łatwa do utrzymania:

Niech X będzie bezimienną ze wszystkich uporządkowanych par (u, v) liczb naturalnych takich, że (u, v) = 1. bez par wzajemnie pierwszych liczb.

Twierdzenie (Cesaro). Prawdopodobieństwo wybrania wzajemnie pierwszych liczb z N zakładów wynosi dokładnie 6/π 2. Dopuszczalne jest, że liczby naturalne a i b są wzajemnie pierwsze. Niech d ∈ N. Poprzez P ( S ) istotna jest przede wszystkim wzajemność S. Rozmiar: R

Nazywa się liczby naturalne a i b wybaczcie mi wzajemnie Jeśli ich największa liczba jest równa 1 (ND(a; b) = 1). W przeciwnym razie wydaje się, że liczby a i b nie mają równych liczb innych niż 1, wszystkie są wzajemnie proste.

Zastosuj pary wzajemnie pierwszych liczb: 2 i 5, 13 i 16, 35 i 88 itd. Możesz wskazać liczbę wzajemnie pierwszych liczb, na przykład liczby 7, 9, 16 są wzajemnie pierwsze.

Często liczby wzajemnie pierwsze oznacza się następująco: (a, b) = 1. Na przykład (23, 30) = 1. Zapis ten jest skrótowym zapisem wartości największej przekątnej dwóch liczb (ND(23, 30 ) = 1) i potwierdzenie, że największy strażak ma już 1 rok.

Od tej chwili dwie liczby naturalne będą wzajemnie pierwsze. Na przykład 15 i 16 to para liczb wzajemnie pierwszych, podobnie jak 16 i 17. Łatwo to zrozumieć, jeśli weźmiemy pod uwagę „regułę” mówiącą o tym, że gdy dwie liczby naturalne a i b są podzielne przez to samo liczba naturalna większa niż 1 ( n > 1), różnicę tę należy również podzielić przez tę samą liczbę n (tutaj należy pamiętać, że a, b i ich różnica muszą zostać podzielone przez tę samą liczbę n). Ale jeśli a i b są dwiema liczbami dziennymi (niech a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Wibruje również wartość liczb pierwszych i liczb pierwszych, tzw Zawsze okazuje się, że różne liczby proste są wzajemnie proste. I nawet dłużnicy dowolnej liczby pierwszej są sami.

Potęga liczb wzajemnie pierwszych

• Najmniejsza wielokrotność (LCM) zakładów na wzajemne liczby pierwsze i ich tworzenie. Na przykład (3, 8) = 1 (oznacza to, że są wzajemnie pierwsze), więc ich LCM jest równe 3 × 8 = 24 (LMK(3, 8) = 24). Jasne, nie znajdziesz mniej, mniej niż 24, co byłoby wielokrotnością 3 i 8.
• Ponieważ liczby a i b są wzajemnie pierwsze, a liczba c jest wielokrotnością a i b, liczba ta będzie wielokrotnością ab. Można to zapisać w ten sposób: jeśli a i c b, to c ab. Na przykład (3, 10) = 1, liczba 60 jest wielokrotnością 3 i 10, a także jest wielokrotnością 30 (3 × 10).
• Ponieważ liczby a i b są wzajemnie proste, a liczbę c przyjmuje się jako wielokrotność b (c b ), to dodanie ac będzie również wielokrotnością b (ac b ). Np. (2, 17) = 1, niech c = 34. Liczba 34 jest wielokrotnością b = 17, wtedy ac = 2 × 34 = 68. Sprawdźmy: 68 ÷ 17 = 4, wtedy dzieli się po równo, co oznacza, że ​​68 jest wielokrotnością 17.

Upewnij się, że poniżej widzisz więcej autorytetów. Ponadto potęgę liczb wzajemnie pierwszych formułuje się na różne sposoby. Konieczne może być również poinformowanie władz (nie będzie żadnego dowodu).

$p$ nazywa się liczbą prostą, inaczej mówiąc $2$ jest równe: $1$ i samej sobie.

Rozszerzacz liczby naturalnej $a$ jest liczbą naturalną, w której liczba $a$ jest podzielna bez nadmiaru.

Tyłek 1

Znajdź liczby 6 $.

Rozwiązanie: Musimy znać wszystkie liczby, dla których podana jest liczba 6$, które należy podzielić bez nadmiaru. Będą to liczby: 1,2,3, 6 dolarów. Liczba $6$ będzie wówczas równa liczbom $1,2,3,6.$

Werdykt: 1,2,3,6 $.

Aby więc poznać liczby liczb, musisz znać wszystkie liczby naturalne, w których można je podzielić bez nadmiaru. Należy zauważyć, że liczba $1$ będzie krewną dowolnej liczby naturalnej.

Wicennia 2

Składany podaj numer, który ma jednego i innych dłużników.

Koniec liczby pierwszej może wynosić 13,$, koniec liczby giełdowej wynosi 14,$

Notatka 1

Liczba $1$ to tylko jedna liczba, ta sama liczba, której nie można uznać ani za prostą, ani za magazynową.

Wzajemnie liczby pierwsze

Wicecenzennia 3

Proste liczby razem nazywane są tymi, których GCD są równe 1 $. Oznacza to, że aby określić, które liczby będą wzajemnie proste, musisz znać ich GCD i zrównać je z 1 $.

Prosto do siebie w parach

Vicenchennya 4

Jeżeli w zbiorze liczb dowolne dwie są wzajemnie pierwsze, to takie liczby nazywamy przebaczajcie sobie nawzajem w parach. W przypadku dwóch liczb pojęcia „wzajemnie pierwsze” i „wzajemnie pierwsze parami” są identyczne.

Tyłek 2

8 dolarów, 15 dolarów – nie proste, ale wzajemnie proste.

6, 8, 9 $ to liczby wzajemnie pierwsze, ale nie liczby pierwsze parami.

8, 15, 49 $ - proste w parach.

W rzeczywistości, aby obliczyć liczby, które są wzajemnie proste, należy je najpierw posortować na proste mnożniki. Mam ogromny szacunek do tych, którzy robią to dobrze.

Układanie prostych mnożników

Na przykład liczbę 180 $ można podzielić na proste mnożniki:

180 $ = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Siła kroków zostaje przyspieszona, a następnie odrzucona,

180 $ = 2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Taki zapis rozkładu prostych mnożników nazywa się zatem kanonicznym. Aby podzielić liczbę na czynniki w postaci kanonicznej, należy szybko skorzystać z potęgi kroków i przedstawić liczbę w postaci liczby stopni z różnymi podstawnikami

Kanoniczny układ liczby naturalnej w ujęciu zagalskim

Rozkład kanoniczny liczby naturalnej w widoku zagal wygląda następująco:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

gdzie $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ są liczbami pierwszymi, a wskaźnikami kroków są liczby naturalne.

Odkrycie liczby w postaci rozkładu kanonicznego na mnożnik liczby pierwszej ułatwia odkrycie największej liczby liczb, a w efekcie dowód wartości liczb wzajemnie pierwszych.

Tyłek 3

Znajdź największą liczbę liczb 180 $ i 240 $.

Rozwiązanie: Rozłóżmy liczby na proste mnożniki, korzystając z rozkładu kanonicznego

180 $ = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, następnie 180 $=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

240 $ = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, następnie 240 $=2^4\cdot 3\cdot 5$

Teraz znamy gcd tych liczb, dla których wybieramy krok o tej samej podstawie i krok o najmniejszym wskaźniku, to

$gcd\(180; 240) = 2^2\cdot 3\cdot 5 = 60$

Możliwość przechowywania algorytm znajdowania GCD z układem rozkładu kanonicznego na proste mnożniki.

Aby znaleźć największe rodzeństwo dwóch liczb za pomocą obliczeń kanonicznych, musisz:

1. klasyfikować liczby na proste mnożniki w sposób kanoniczny
2. wibruj krok o tej samej podstawie i przy najmniejszym wskaźniku krok, który wchodzi przed układem tych liczb
3. Dowiedz się więcej o liczbach znalezionych na mapie 2. Znaleziona liczba będzie największą, jaką możesz znaleźć.

Tyłek 4

Oznacza to, że liczby 195 $ i 336 $ będą liczbami pierwszymi, wzajemnie pierwszymi.

195 $ = 3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$gcd\(195; 336) = 3\cdot 5 = 15$

Uważamy, że GCD tych liczb jest równy 1 $, więc liczby te nie są wzajemnie pierwsze. Ważne jest też, żeby przed magazynem każdej liczby były mnożniki, oprócz 1$ i samej liczby, co oznacza, że ​​proste liczby nie będą takie proste, a będą magazyny.

Tyłek 5

Oznacza to, że liczby 39 $ i 112 $ będą liczbami pierwszymi, wzajemnie pierwszymi.

Rozwiązanie: Szybszy sposób pomnożenia układów kanonicznych:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$gcd\(39; 112) = 1$

Mi, gcd tych liczb jest równe 1 $, więc liczby są wzajemnie pierwsze. Ważne jest też, aby przed magazynem każdej liczby znajdowały się mnożniki, oprócz 1 dolara i samej liczby, co oznacza, że ​​proste liczby same w sobie nie będą takie, a będą magazynami.

Tyłek 6

Liczby 883 $ i 997 $ są proste i wzajemnie pierwsze.

Rozwiązanie: Szybszy sposób pomnożenia układów kanonicznych:

883 $ = 1\ckropka 883 $

997 $ = 1 \ cdot 997 $

$gcd\(883;997) = 1$

Mi, gcd tych liczb jest równe 1 $, więc liczby są wzajemnie pierwsze. Ważne jest również, aby w skład każdej liczby wchodziły tylko mnożniki równe 1 $ i sama liczba, co oznacza, że ​​liczby będą proste.