Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

Атрактор Ресслера- хаотичний атрактор, яким володіє система диференціальних рівняньРеслера:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$ ;

де $a,b,c$- Позитивні постійні. При значеннях параметрів $a\; =\; b\; =\; 0,2$і $2,\; 6\; \backslash le\; c\; \backslash le\; 4,2$рівняння Ресслера мають стійкий граничний цикл. При цих значеннях параметрів період та форма граничного циклу здійснюють послідовність подвоєння періоду. Відразу ж за точкою $c\; =\; 4,2$виникає явище хаотичного атрактора. Чітко певні лінії граничних циклів розпливаються і заповнюють фазовий простір нескінченним рахунковим безліччю траєкторій, що має властивості фракталу.

Іноді аттрактори Ресслера будуються для площини, тобто $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Стійкі рішення для $x,\; y$можуть бути знайдені обчисленням власного вектора матриці Якобі виду , для якої $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Звідси видно, що коли , власні вектори є комплексними і мають позитивні речовинні компоненти, що робить атрактор нестійким. Тепер розглядатимемо площину $Z$у тому ж діапазоні $a$. Бувай $x$менше $c$, параметр $c$буде утримувати траєкторію близьку до площини $x,\; y$. Як тільки $x$стане більше $c$, $z$-координата почне збільшуватися, а трохи згодом параметр $-z$гальмуватиме зростання $x$в $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Крапки рівноваги

Для того, щоб знайти точки рівноваги, три рівняння Реслера прирівнюються до нуля і $xyz$-Координати кожної точки рівноваги знаходяться шляхом вирішення отриманих рівнянь. В підсумку:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash right)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Як показано в загальних рівнянняхаттрактора Ресслера, одна з цих нерухомих точок знаходиться в центрі аттрактора, інші лежать порівняно далеко від центру.

Зміна параметрів a, b та c

Поведінка атрактора Ресслера значною мірою залежить від значень постійних параметрів. Зміна кожного параметра дає певний ефект, внаслідок чого система може зійтися до періодичної орбіти, нерухомої точки або спрямувати в нескінченність. Кількість періодів атрактора Ресслер визначається числом його витків навколо центральної точки, які виникають перед серією петель.

Біфуркаційні діаграми є стандартним інструментом для аналізу поведінки динамічних систем, до яких включено і атрактор Реслера. Вони створюються шляхом вирішення рівнянь системи, де фіксуються дві змінні та змінюється одна. При побудові такої діаграми виходять майже повністю зафарбовані регіони; це є область динамічного хаосу.

Зміна параметра a

Зафіксуємо $b\; =\; 0.2$, $c\; =\; 5.7$і будемо змінювати $a$.

У результаті досвідченим шляхом отримаємо таку таблицю:

• $a\; \backslash leq\; 0$: Сходить до стійкої точки.
• $a\; =\; 0.1$: Крутиться з періодом 2
• $a\; =\; 0.2$: Хаос (стандартний параметр рівнянь Реслера) .
• $a\; =\; 0.3$: Хаотичний атрактор.
• $a\; =\; 0.35$: Аналогічний попередньому, але хаос проявляється сильніше
• $a\; =\; 0.38$: Аналогічний попередньому, але хаос проявляється ще сильніше

Зміна параметра b

Зафіксуємо $a\; =\; 0.2$, $c\; =\; 5.7$і мінятимемо тепер параметр $b$. Як видно з малюнка, при $b$Атрактор, що прагне до нуля, нестійкий. Коли $b$стане більше $a$і $c$, система врівноважиться і перейде до станційного стану.

Зміна параметра c

Зафіксуємо $a\; =\; b\; =\; 0.1$і будемо змінювати $c$. З біфуркаційної діаграми видно, що за маленьких $c$система періодична, але зі збільшенням швидко стає хаотичною. Малюнки показують, як змінюється хаотичність системи при збільшенні $c$. Наприклад при $c$= 4 аттрактор матиме період рівний одиниці, і на діаграмі буде одна єдина лінія, те саме повториться коли $c$= 3 тощо; Бувай $c$не стане більше 12: остання періодична поведінка характеризується саме цим значенням, далі всюди йде хаос.

Наведемо ілюстрації поведінки атрактора у вказаному діапазоні значень $c$, що ілюструють загальну поведінку таких систем - часті переходи від періодичності до динамічного хаосу

Напишіть відгук про статтю "Атрактор Ресслера"

Примітки

Посилання

• Конструктор

Література

• Воронов В. К., Подоплелов А. В. Сучасна фізика: Навчальний посібник. М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 2 Фізика відкритих систем. п.п 2.4 Хаотичний атрактор Ресслера.

Уривок, що характеризує Атрактор Реслера

- Пропустіть, я вам говорю, - знову повторив, підтискуючи губи, князь Андрій.
- А ти хто такий? – раптом з п'яним сказом звернувся до нього офіцер. - Ти хто такий? Ти (він особливо наполягав на ти) начальник, чи що? Я тут начальник, а не ти. Ти, назад, – повторив він, – у корж розбитий.
Цей вираз, мабуть, сподобався офіцеру.
– Важливо відголив ад'ютантика, – почувся голос ззаду.
Князь Андрій бачив, що офіцер перебував у тому п'яному нападі безпричинного сказу, в якому люди не пам'ятають, що кажуть. Він бачив, що його заступництво за лікарську дружину в кибіточці виконано того, чого він боявся найбільше у світі, того, що називається ridicule [смішне], але інстинкт його говорив інше. Не встиг офіцер домовити останніх слів, як князь Андрій зі знівеченим від сказу обличчям під'їхав до нього і підняв нагайку:
- З волі пропустити!
Офіцер махнув рукою і квапливо від'їхав геть.
- Все від цих, від штабних, безладдя все, - пробурчав він. - Робіть, як знаєте.
Князь Андрій квапливо, не підводячи очей, від'їхав від лікарської дружини, яка називала його рятівником, і, огидно згадуючи найдрібніші подробиці цієї принизливої ​​сцени, поскакав далі до того села, де, як йому сказали, знаходився головнокомандувач.
В'їхавши в село, він зліз з коня і пішов до першого будинку з наміром відпочити хоч на хвилину, з'їсти що-небудь і довести до розуміння всі ці образливі, мучили його думки. "Це натовп мерзотників, а не військо", думав він, підходячи до вікна першого будинку, коли знайомий йому голос назвав його на ім'я.
Він озирнувся. З маленького вікна висовувалося гарне обличчя Несвицького. Несвицький, пережовуючи щось соковитим ротом і махаючи руками, кликав його до себе.
– Болконський, Болконський! Чи не чуєш, чи що? Іди швидше, – кричав він.
Увійшовши до будинку, князь Андрій побачив Несвицького та ще іншого ад'ютанта, що закушували щось. Вони поспішно звернулися до Болконського з питанням, чи він не знає чого нового. На таких знайомих йому обличчях князь Андрій прочитав вираз тривоги і занепокоєння. Вираз це особливо помітно було на завжди сміливому особі Несвицького.
– Де головнокомандувач? – спитав Болконський.
– Тут, у тому будинку, – відповів ад'ютант.
- Що ж, правда, що мир і капітуляція? – питав Несвицький.
– Я у вас питаю. Я нічого не знаю, крім того, що я ледве дістався вас.
– А у нас, брате, що! Жах! Звинувачуюсь, брате, над Маком сміялися, а самим ще гірше доводиться, – сказав Несвицький. - Та сідай же, поїж чогось.
— Тепер, князю, ні візків, нічого не знайдете, і ваш Петро його знає де, — сказав інший ад'ютант.
– Де ж головна квартира?
- У Цнаймі ночуємо.
- А я так перев'явив собі все, що мені потрібно, на двох коней, - сказав Несвицький, - і в'юки чудові мені зробили. Хоч через Богемські гори тікати. Погано, брате. Та що ти, ніби нездоровий, що так здригаєшся? - спитав Несвицький, помітивши, як князя Андрія смикнуло, ніби від дотику до лейденської банки.
– Нічого, – відповів князь Андрій.
Він згадав цієї хвилини про недавнє зіткнення з лікарською дружиною і фурштатським офіцером.
- Що головнокомандувач тут робить? – спитав він.
– Нічого не розумію, – сказав Несвицький.
- Я одне розумію, що все бридко, бридко і бридко, - сказав князь Андрій і пішов у будинок, де стояв головнокомандувач.
Пройшовши повз екіпаж Кутузова, верхових закатованих коней почту і козаків, що голосно говорили між собою, князь Андрій увійшов у сіни. Сам Кутузов, як сказали князю Андрію, був у хаті з князем Багратіоном і Вейротером. Вейротер був австрійський генерал, який замінив убитого Шміта. У сінях маленький Козловський сидів навпочіпки перед писарем. Писар на перевернутій кадушці, закрутивши обшлага мундира, поспішно писав. Обличчя Козловського було змучене – він, мабуть, теж не спав ніч. Він глянув на князя Андрія і навіть не кивнув головою.
– Друга лінія… Написав? – продовжував він, диктуючи писареві, – Київський гренадерський, Подільський…
- Не встигнеш, ваше високоблагородіє, - відповів писар нешанобливо і сердито, озираючись на Козловського.
З-за дверей чутно був у цей час жваво невдоволений голос Кутузова, перебивається іншим, незнайомим голосом. За звуком цих голосів, за неувагою, з якою глянув на нього Козловський, за нешанобливістю змученого писаря, з того, що писар і Козловський сиділи так близько від головнокомандувача на підлозі біля кадушки, і з того, що козаки, що тримали коней, глузливо сміялися. вікном будинку, – по всьому цьому князь Андрій відчував, що мало статися щось важливе й нещасливе.
Князь Андрій наполегливо звернувся до Козловського із питаннями.
– Зараз, князю, – сказав Козловський. - Диспозиція Багратіону.
– А капітуляція?
- Жодної немає; створено розпорядження до бою.
Князь Андрій попрямував до дверей, з яких чути були голоси. Але коли він хотів відчинити двері, голоси в кімнаті замовкли, двері самі відчинилися, і Кутузов, зі своїм орлиним носом на пухкому обличчі, з'явився на порозі.
Князь Андрій стояв прямо проти Кутузова; але за висловом єдиного зрячого ока головнокомандувача видно було, що думка і турбота так сильно займали його, що ніби застилали йому зір. Він прямо дивився на обличчя свого ад'ютанта і не впізнавав його.
- Ну що, скінчив? – звернувся він до Козловського.
- Зараз, ваше превосходительство.
Багратіон, невисокий, зі східним типом твердого і нерухомого обличчя, суха, ще не стара людина, вийшла за головнокомандувачем.
– Честь маю з'явитись, – повторив досить голосно князь Андрій, подаючи конверт.
- А, з Відня? Добре. Після, після!
Кутузов вийшов із Багратіоном на ганок.
– Ну, князю, прощай, – сказав він Багратіону. – Христос із тобою. Благословляю тебе на великий подвиг.
Обличчя Кутузова зненацька пом'якшилося, і сльози з'явилися в його очах. Він притяг до себе лівою рукою Багратіона, а правою, на якій було кільце, мабуть, звичним жестом перехрестив його і підставив йому пухлу щоку, замість якої Багратіон поцілував його в шию.

де – сума діагональних мінорів першого порядку матриці А

- Сума діагональних мінорів другого порядку матриці А

- Сума діагональних мінорів третього порядку матриці А

Нехайa= - ,b= , тоді ХУ 3-го порядку має вигляд:

Умова:

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)>

Два характеристичні рівняння Ресслера.

При розв'язанні системи диференціальних рівнянь знаходяться 2 особливі точки P10(0,0,0) і P20==(c-ab,b-c/a,c/a-b), якщо виконати всі операції з знаходженням Якобіана та сум діагональних елементів, то навчаться 2 рівняння Ресслера:

3.3 Умова визначення виду власних значень характеристичного рівняння третього порядку.

Умова:

Ф(a,b,c)=(9c-ab) 2 -(6b-2a 2)(6ac-2b 2)

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)=0 – дві(три) кратні речовини. коріння

Ф(a,b,c)>0 – два комплексно пов'язані корені

Коріння характеристичного рівняння з параметрами: 0,38; 0,30; 4,82 (нестійкий фокус-сідло).

Інтегральні криві слід будувати щодо кожної особливої ​​точки.

Розглядаються всі «умови» + умова (с-ав)>0і (с-ав)<0 рассматирваием для Ро1=(0,0,0)

Якщо розглянути рівняння з параметрами 0,38, то виходить цікава траєкторія, траєкторія відштовхується від Ро1(0,0,0) вздовж R 2 (х1,х2) у фазовому просторі R 3 а притягуються вздовж одномірної кривої, утворюючи нерухому точку типу сідло -Фокус. Точка, що зображає, залишає область нестійкої точки рівноваги типу Ро1 в площині змінних (х1,х3), а потім повертається до цієї точки знову.

Гомоклінічна траєкторія у фазовому просторі системи.

Фазовий портрет дає можливість зобразити якісну характеристику всієї сукупності вільних рухів (процесів) для обраної області простору НУ коренів.

якщо траєкторія виходить із початку координат, то, здійснивши повний оборот навколо однієї із стійких точок, вона повернеться назад у початкову точку - виникають дві гомоклінічні петлі (Поняття гомоклінічної траєкторії означає, що вона виходить і приходить в те саме положення рівноваги).

Гомоклінічна траєкторія– не виникає, якщо параметри не задовольняють певного обмеження.

Структурна нестійкість гомоклінічної траєкторії.

При великих значеннях параметра траєкторія зазнає серйозних змін. Шильников і Каплан показали, що з дуже великих r система перетворюється на режим автоколивань, у своїй, якщо зменшувати параметр, спостерігатиметься перехід до хаосу через послідовність подвоєнь періоду коливань.

Гомоклінічні траєкторії- Структурно нестійкі.

Дивний атрактор

Дивний атрактор: нестійке становище рівноваги - основна особливість хаотичної поведінки Траєкторії дуже чутливі до зміни початкових умов - це якість властива дивним атракторам.

Дивний атрактор - це атрактор, що має дві істотні відмінності від звичайного атрактора: траєкторія такого атрактора неперіодична (вона не замикається) і режим функціонування нестійкий (малі відхилення від режиму наростають). Основним критерієм хаотичності атрактора є експоненційне наростання у часі малих збурень. Наслідком цього є "перемішування" в системі, неперіодичність у часі будь-якої з координат системи, суцільний спектр потужності і автокореляційна функція.

Динаміка на дивних атракторах часто буває хаотичною: прогнозування траєкторії, що потрапила в атрактор, утруднено, оскільки мала неточність у початкових даних через деякий час може призвести до сильного розходження прогнозу з реальною траєкторією. Непередбачуваність траєкторії в детермінованих динамічних системах називають динамічним хаосом, відрізняючи його від стохастичного хаосу, що у стохастичних динамічних системах. Це також називають ефектом метелика, маючи на увазі можливість перетворення слабких турбулентних потоків повітря, викликаних помахом крил метелика в одній точці планети в потужне торнадо з іншого боку внаслідок багаторазового їх посилення в атмосфері за деякий час.

Чи можлива одночасно стохастична і регулярна поведінка? Чи завжди або регулярне, або стохастичне?

І регулярна і хаотійна поведінка динамічних диссипативних систем з багатьма змінними (n>2) можлива, причому не тільки окремо (або), але й одночасно.

Не можна говорити, що система йде в хаос сраху після першої біфуркації (оскільки в одному місці пішло, в іншому прийшло)

Чому третій порядок? Чи можливе виникнення дивних атракторів у системах другого порядку? А в системах вище за третій порядок?

Точніші математичні умови виникнення хаосу виглядають так:

Система повинна мати нелінійні характеристики, бути глобально стійкою, але мати хоча б одну нестійку точку рівноваги коливального типу, при цьому розмірність системи повинна бути не менше ніж 1,5 (тобто порядок диференціального рівняння не менше ніж 3).

Лінійні системи ніколи не бувають хаотичними. Для того, щоб динамічна система була хаотичною, вона має бути нелінійною. По теоремі Пуанкаре-Бендиксона (Poincaré-Bendixson), безперервна динамічна система на площині може бути хаотичної. Серед безперервних систем хаотичне поведінка мають лише непоплоські просторові системи (обов'язково наявність щонайменше трьох вимірів чи неевклідова геометрія). Однак дискретна динамічна система на якійсь стадії може проявити хаотичну поведінку навіть у одновимірному чи двовимірному просторі.

Лекція 3. Інтегровані та неінтегровані системи. Консервативні системи

Інтегровані системи

1. Зведення до вільного (незбуреного) руху систем. Що буде при незводності?

Для систем, що інтегруються, можна виключити взаємодії і звести завдання до задачі про вільному русі. Для вільного руху не важко знайти вирази для координат і швидкостей у вигляді явних функцій часу. Для систем, що не інтегруються, необхідно відмовитися від опису в термінах траєкторій і перейти до ймовірнісного опису (при незводності).

Чи можна описати систему, що не інтегрується, в термінах траєкторій?

ні не можливо. Йдеться принципово ймовірнісному описі, несводном до описи в термінах окремих траєкторій.

Чи може система, задана детермінованим рівнянням, мати стохастичну динаміку?

Д. с. протиставляється імовірнісній системі, Виходи якої лише випадковим чином, а не однозначно залежать від входів. (У д.с. однозначно залежить від входів).

1

Стаття присвячена застосуванню методу аналітичного конструювання агрегованих регуляторів розробки законів управління типовими нелінійними динамічними системами з хаотичною динамікою, які забезпечують стабілізацію станів рівноваги у таких системах. У статті представлено рішення одного з характерних завдань антихаотичного управління, а саме завдання придушення аперіодичних коливань у таких системах. Розроблено синергетичні закони управління хаотичними моделями Лоренца та Ресслера, які забезпечують стабілізацію фазових змінних у цих моделях. Введення синтезованих зворотних зв'язків призводить до виникнення у системах стану рівноваги. Проведено комп'ютерне моделювання синтезованих замкнутих динамічних систем, що підтверджує теоретичні положення синергетичної теорії управління. Синтезовані закони управління можуть бути використані в різних технічних програмах з метою підвищення ефективності їх функціонування.

модель Лоренца

модель Ресслера

динамічна система

управління

синергетика

Зворотній зв'язок

автоколивання

1. Аніщенко В.С., Вадівасова Т.Є. Лекції з нелінійної динаміки // Вісті вищих навчальних закладів. Прикладна нелінійна динаміка. - 2010. - Т. 18. - № 3. - С. 186-191.

2. Колесніков А.А. Прикладна синергетика: Основи системного синтезу. - Таганрог: Вид-во ТТІ ЮФУ, 2007. - 384 с.

3. Колесніков А.А. Синергетична теорія управління. - М.: Вища школа, 1994. - 344 с.

4. Малинецький Г.Г. Хаос. структури. Обчислювальний експеримент: Введення у нелінійну динаміку. - М.: Едиторіал УРСС, 2002. - 255 c.

5. Неймарк Ю.І., Ланда П.С. Стохастичні та хаотичні коливання. - М.: Наука, 1987. - 424 с.

6. Сучасна прикладна теорія управління. Ч. II: Синергетичний підхід у теорії управління/під. ред. А.А. Колеснікова. - М.-Таганрог: Вид-во ТРТУ, 2000. - 558 с.

7. Лоренз Е.Н. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. - 1963. - № 20. - P. 130-133.

8. Rossler OE. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. A. - 1976. - Vol. 57А, № 5. - P. 397-398.

На сьогоднішній день використання терміна «хаос» в наукових дослідженняхпов'язано з необхідністю опису таких систем, які характеризуються цілком випадковою, здавалося б, динамікою й те водночас присутністю у яких прихованого порядку.

Досить актуальна наукова проблема управління хаотичною динамікою не вирішена й у час. З великої кількості наявних аспектів її вирішення як надзвичайно важливого можна виділити дослідження різноманітних методів та законів, що пригнічують нерегулярні коливання у нелінійних системах, що характеризуються наявністю хаотичної динаміки.

Проблематика управління нелінійними системами з хаотичною динамікою має важливе прикладне значення. Варто зазначити, що справа тут не лише у боротьбі з хаосом, який часто порушує якість функціонування складних систем, а й у доцільній для низки технологічних процесів ідеї виникнення так званого порядку з хаосу.

Проблема придушення нерегулярних коливань відноситься до найбільш характерних проблем управління моделями з хаотичною динамікою і полягає в такому формуванні впливів, що управляють, при якому забезпечується стабілізація спочатку хаотичної моделі в стійкому стаціонарному стані. Надалі вважається, що є можливість впливу динаміку моделі з допомогою деякого зовнішнього управляючого впливу, яке адитивно входить до складу правої частини однієї з її диференціальних рівнянь.

Мета дослідження. У роботі вирішено завдання побудови скалярних законів управління, які забезпечують придушення хаотичних коливань у типових хаотичних системах Лоренца і Ресслера, у яких відбувається стабілізація нерегулярних коливань вихідних моделей у рівноважному стійкому стані. Завдання аналогічного типу виникають у разі потреби усунути небажані вібрації конструкцій, різні шуми тощо. .

Матеріали та методи дослідження

Одним із методів ефективного вирішення складного завдання управління хаосом та синтезу об'єктивних законів управління нелінійними системами з хаотичною динамікою є метод аналітичного конструювання агрегованих регуляторів (АКАР), запропонований професором О.О. Колесніковим.

Побудова скалярних регуляторів методом аналітичного конструювання агрегованих регуляторів ґрунтується на введенні послідовності інваріантних різноманітностей знижувальної геометричної розмірності та подальшої поетапної динамічної декомпозиції вихідної динамічної системи. У такому випадку зображувальна точка (ІТ) системи, почавши рухатися з довільного початкового стану, послідовно переміщається від однієї поверхні тяжіння до іншої, доки не потрапить на фінішну поверхню виду ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → ... → ψm = 0. « Внутрішні» різноманіття топологічно вкладаються у «зовнішні». Таким чином, у системі, що синтезується, виникає внутрішній процес самоврядування. В результаті відбувається каскадне формування послідовності внутрішніх управлінь, які стискають фазовий об'єм системи у напрямку від зовнішньої області фазового простору до сукупності внутрішніх областей, що вкладаються одна в одну, аж до попадання ІТ в бажаний стан системи.

Припустимо, що у просторі станів замкнутої системи існує притягує інваріантне різноманіття виду ψ(x) = 0, що є асимптотическим межею фазових траєкторій. Взагалі, подібних різноманіття може бути кілька. Як правило, кількість інваріантних різноманітностей збігається з кількістю каналів керування. Тоді зображуюча точка системи починає прагнути перетину інваріантних різноманітностей. Необхідною умовоювлучення зображуючої точки замкнутої системи «об'єкт-регулятор» на інваріантне різноманіття ψ(x) = 0 є, щоб її рух задовольняв деякому стійкому диференціальному рівнянню, записаному щодо агрегованої макрозмінної ψ(x). Таке рівняння у синергетичній теорії управління називають функціональним чи еволюційним. Зазвичай система функціональних рівнянь визначається як система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку виду

S = 1, 2, …, m, Ts > 0.

Тут m – число заданих інваріантних різноманітностей; Ts - керуючий параметр, φ s (ψ s) - функція, яка повинна задовольняти наступну сукупність умов:

1) φ s (ψ s ) повинна бути безперервна, однозначна і диференційована при всіх ψs;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 за будь-яких 0,

тобто. вони звертаються в нуль тільки на різноманіттях s = 0, щодо яких система заданих функціональних рівнянь асимптотично стійка в цілому.

Як правило, у методі АКАР використовуються функціональні рівняння:

тобто. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Рівняння такого типу, як видно, характеризуються асимптотичною стійкістю щодо різноманіття ψ s = 0 за умови Ts > 0.

У цій ситуації завдання синтезу законів стабілізуючого управління хаотичними моделями у випадку формулюється в такий спосіб. Необхідно знайти функцію uS(x) як деяку сукупність зворотних зв'язків, що забезпечують переклад зображуючої точки вихідної хаотичної моделі з довільних початкових умов деякої допустимої області в заданий стан (сукупність станів), яке відповідає стійкому режиму . В самому простому випадкууправління входить лише одне диференціальне рівняння вихідної системи. Можуть бути варіанти, коли один і той самий керуючий вплив знаходиться в різних рядках вихідної системи.

Відмінним аспектом постановки завдання синергетичного синтезу законів управління є наявність додаткової вимоги до руху системи з початкового стану в кінцевий, який полягає в асимптотичному притяганні фазових траєкторій системи до деякого інваріантного різноманіття (перетину різноманіття) у просторі станів (ПС) системи.

Введення у рівняння вихідної моделі стабілізуючого зворотного зв'язку призводить до цілеспрямованої зміни топології її простору станів. Внаслідок подібної перебудови відбувається зникнення хаотичного атрактора та формування регулярного атрактора типу «точка», який відповідають бажаному рівноважному режиму поведінки.

Результати дослідження та їх обговорення

Розглянемо етапи реалізованої процедури синтезу стабілізуючого закону управління методом АКАР для хаотичної системи Лоренца.

Модель Лоренца спочатку була отримана з рівнянь Навье - Стокса і теплопровідності з метою вивчення можливості прогнозування погодних умов при варіації керуючих параметрів. Модель описує рух конвективних валів рідини при температурному градієнті.

Модель є такою системою трьох звичайних диференціальних рівнянь :

де σ – число Прандтля; ρ - нормована кількість Релея; параметр b залежить від взаємовіддаленості площин та горизонтального періоду.

Рис. 1. Хаотичний атрактор системи Лоренца

У цій системі за певних умов відбувається формування хаотичних коливань. На рис. 1 показано фазову траєкторію системи при значеннях параметрів σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 в режимі детермінованого хаосу. У цій динамічній системі вперше досліджувалися стохастичні автоколивання. Хаотичний атрактор системи (1) принципово відрізняється від хаотичних атракторів більшості моделей нелінійної динаміки. Його структура повністю відповідає дивному атрактору і характеризується наявністю лише сідлового типу руху.

Припустимо, що керуюча дія u1 входить у перше рівняння системи (1) у вигляді внутрішнього зворотного зв'язку:

Введемо одне інваріантне різноманіття виду

де μ - деякий параметр, що управляє.

Якщо продиференціювати функцію ψ1 (3) за часом і підставити її похідну до функціонального рівняння

ми отримаємо шуканий закон управління:

Закон управління (5) забезпечує переведення зображувальної точки системи (2), замкненої зворотним зв'язком (5), на інваріантне різноманіття ψ1 = 0.

Динаміка руху зображуючої точки моделі за даним інваріантним різноманіттям описується за допомогою диференціальних рівнянь декомпозованої моделі, які утворюються після підстановки виразу з рівності ψ1 = 0 (3) у друге та третє рівняння системи (2):

(6)

Рис. 2. Фазові портрети систем (2), (5) та (6)

Рис. 2 ілюструє результати проведеного чисельного моделювання системи (2), (5) при значеннях керуючих параметрів σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, характерних для існування хаотичного атрактора Лоренца, та значення параметрів регулятора T1 = 0,1, μ = 4, що підтверджують ефективність теоретичних положень методу АКАР. Перше рівняння в декомпозованій системі (6) є повністю ідентичним базовому еволюційному рівнянню синергетики з біфуркацією типу «вилка».

Проведемо побудова стабілізуючого закону управління способом АКАР моделі Ресслера. Модель Ресслера - це нелінійна динамічна система диференціальних рівнянь третього порядку виду:

де a, b, c – керуючі параметри.

Система (7) була запропонована Ресслер для моделювання процесів взаємодії ряду хімічних речовин. Ця система досить часто застосовується у різноманітних наукових дослідженнях явищ різноманітної природи у зв'язку з наявністю характерних їм ознак появи та існування хаотичної динаміки. Рис. 3 демонструє хаотичний атрактор системи Ресслер при значеннях параметрів a = b = 0,2; c=9.

Припустимо, що керуючий вплив входить у друге рівняння вихідної системи (7):

Вид інваріантного різноманіття

та функціональне рівняння (4) дозволяють отримати шуканий закон управління:

(10)

Закон управління (10) гарантує переведення зображувальної точки керованої системи (8), яка замкнена зворотним зв'язком (10), на інваріантне різноманіття ψ2 = 0 (9).

Рис. 3. Хаотичний атрактор системи Ресслера

Характер руху системи вздовж інваріантного різноманіття ψ2 = 0 описує декомпозована модель:

(11)

де рівняння біфуркації типу «вилка» є у першому рядку.

Рис. 4. Фазові портрети систем (8), (10) та (11)

Рис. 4 ілюструє отримані результати чисельного моделювання замкнутої системи (8), (10) для значень параметрів керуючих моделі a = b = 0,2; c = 9, які притаманні виникнення атрактора хаотичного типу, і навіть значень параметрів регулятора T2 = 0,1; μ = 25.

В обох отриманих декомпозованих моделях (6), (11) рівняння, розташовані у першому рядку, збігаються з базовим еволюційним рівнянням синергетики з біфуркацією типу "вилка". У зв'язку з цим ми можемо стверджувати про природний характер синтезованих законів стабілізуючого управління вихідними хаотичними системами і про єдність та внутрішній взаємозв'язок універсальних еволюційних рівнянь нелінійної теорії самоорганізації та синергетики.

Природний характер синтезованих керуючих законів обумовлений насамперед наявністю у замкнутих систем сукупності типових біфуркаційних властивостей.

В результаті проведеного дослідження синтезовано сукупність зворотних зв'язків, при замиканні якими вихідних хаотичних систем виникає зміна характеру їхньої поведінки та трансформація атрактора хаотичного типу в атрактор типу «точка». Отримані закони керування u1 (5) і u2 (10) гарантовано забезпечують асимптотичну стійкість у всьому фазовому просторі щодо бажаних станів рівноваги при значеннях параметра μ< 0 или μ >0 для відповідних хаотичних моделей. Отримані закони u1 (5) і u2 (10) належать до класу об'єктивних законів управління, що перетворюють системи Лоренца і Ресслера, що мають хаотичну динаміку, в базові еволюційні рівняння теорії самоорганізації та синергетики.

Синтезовані закони управління u1(5) та u2(10) оригінальні та універсальні. Вони можуть застосовуватися під час проектування керованих систем різноманітного призначення, значно підвищуючи ефективність їх функціонування.

Бібліографічне посилання

Кучерова В.Ю., Петьков В.М., Артамонов П.А. ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ АКАР ДЛЯ РІШЕННЯ ЗАДАЧІ СТАБІЛІЗАЦІЇ СТАН РІВНОВАГИ ТИПОВИХ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ // Фундаментальні дослідження. - 2016. - № 5-2. - С. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (дата звернення: 15.01.2020). Пропонуємо до вашої уваги журнали, що видаються у видавництві «Академія Природознавства»