Budivelný portál Elektroinstalace a elektrická zařízení
Dodoma

Integrály jako goniometrické funkce.

Uplatněte své rozhodnutí V této lekci jsme se podívali na integrály goniometrických funkcí, takže výplní integrálů budou sinus, kosinus, tangens a kotangens pro různé kombinace. Všechny nedopalky budou podrobně prezentovány, dostupné a srozumitelné pro konvici.

Chcete-li úspěšně integrovat integrály do goniometrických funkcí, musíte dobře rozumět nejjednodušším integrálům a dalším metodám integrace. S těmito materiály se můžete seznámit na přednáškách, Nehodnotový integrál.і Uplatněte své rozhodnutí ta A teď potřebujeme: Tabulka integrálů Tabulka odjezdů Poradce trigonometrických vzorců

. Veškeré metodické pomůcky naleznete na webu Matematické vzorce a tabulky .

Doporučuji vše dotáhnout.

Zaměřím se zejména na trigonometrické vzorce, smrad dřina buti před ochimou

– bez kterých se účinnost robota výrazně změní.

Nejprve o těch integrálech v tomto článku

ani

.

Nenajdete zde žádné integrály,

- kosinus, sinus, násobený libovolným členem (někdy s tečnou nebo kotangens).

Takové integrály jsou integrovány po částech a abyste se naučili metodu, vezměte si lekci o integraci po částech. .

Aplikujte řešení Také zde nejsou žádné integrály s „oblouky“ - arkustangens, arkussinus atd., jsou také nejčastěji integrovány po částech.

ani

Při hledání integrálů z goniometrických funkcí se používá řada metod:

(4) Vikoristův tabulkový vzorec

ani

, uniformita, místo „X“ máme skládací výraz.
Zadek 2

Zadek 3

Najděte nehodnotový integrál. Klasika žánru pro ty, kteří mají náladu. .

Jak jste si možná všimli, tabulka integrálů nemá integrál pro tečnu a kotangens a o takových integrálech se můžete dozvědět.

(4) Linearitu neohodnoceného integrálu určuje Vikorist.

(5) Integrováno pomocí doplňkové tabulky.

Zadek 6

ani

Při hledání integrálů z goniometrických funkcí se používá řada metod:

Existují také integrály tečen a kotangens, které se nacházejí na vyšších úrovních. Integrál tečné krychle opakován v lekci Jak vypočítat plochu ploché postavy? Integrály tečny (kotangens) ve čtvrtém a pátém kroku lze získat na stránce.

Skládací integrály

Spodní stupeň integrální funkce Tato technika funguje, když jsou integrální funkce naplněny siny a kosiny chlapi , kroky. .

Pro nižší úroveň použijte goniometrické vzorce

ani

A navíc se zbývající vzorec často používá v opačném směru:

Zadek 7 Rozhodnutí: V zásadě zde není nic nového, kromě toho, že jsme si vzorec zapsali

(změna stupně subintegrální funkce).

ani

Při hledání integrálů z goniometrických funkcí se používá řada metod:

Jsem vděčný, že jsem se rozhodl rychle.

Ve světě lze nashromážděný integrál najít snadno, což ušetří hodinu a je zcela přijatelné při dokončení úkolu.

ani

V tomto případě pravidlo nezapisujte úplně

Nejprve vezmeme integrál od 1, potom od . .

Zadek 8

Toto jsou pokročilá stádia:

Zadek 9

Nejdřív rozhodnutí, pak komentáře: .

(1) Můžeme připravit integrální funkci k formulaci vzorce (2) Vzorec Vlasneho zastosova.

(3) Vezmeme znaménko druhé mocniny a konstantu vložíme do znaménka integrálu. Dalo by se vydělat trochu jinak, ale bylo by to pro mě jednodušší.

(4) Vikoristova formule

(5) Pro třetí sčítání opět snížíme krok a poté použijeme doplňkový vzorec

(6) Provádějí se podobné doplňky (zde jsem je rozdělil po částech

ta vikonav dodavannya).

(7) Vezmeme integrál, pravidlo linearity

ani

Tento způsob zavedení funkce pod diferenciálním znaménkem je jasně definován. (8) Důkaz je jasný.(přesněji zřejmě smrady vypadají absolutně jinak a z matematického hlediska jsou ekvivalentní).

Bez ohledu na všechno se nenaučíte nejracionálnější metodu a budete trpět otevíráním paží, zkreslením jiných goniometrických vzorců. Nejúčinnější řešení je založeno na lekci. Odešlete odstavec, udělejte shrnutí: ať je to integrál mysli, kde já-
chlapi

čísla, zdá se, že úroveň integrální funkce je nižší.

Ve skutečnosti byly integrály s 8 a 10 kroky zúženy a jejich hrozné krvácení bylo vyřešeno několikanásobným snížením hladiny a výsledky přinesly dlouhodobé výsledky. Náhradní metoda Jak již statistiky odhadly
Metoda nahrazení proměnné v neidentifikovaném integrálu

Hlavním důvodem pro volbu substituční metody je to, že integrand má podobnou funkci:

ani

(funkce, které v tvorbě nemusí nutně existovat) Zadek 11

Zobrazí se v tabulce souvisejících a označených vzorců,

, pak má náš integrální výraz podobnou funkci.

Důležité však je, že při diferenciaci se kosinus a sinus vzájemně transformují jeden po druhém a nastává problém: jak nahradit proměnnou a co znamená - sinus a kosinus?!
Výživu lze určit pomocí vědecké metody: pokud uděláme špatné změny, nepřinese to nic dobrého.

Konečný mezník: v podobných situacích je třeba určit funkci bytí ve znamení.
Řešení se přezkoumává a probíhá výměna

S naším bannermanem je vše v pořádku, všechno tam dlouho leželo, teď nevíme, co dělat.

Pro které známe diferenciál:

Nebo ve zkratce:

Na základě pravidla proporce potřebujeme následující výraz: Náhradní metoda.

Další:

Nyní lze všechny integrální výrazy ponechat pouze otevřené a lze pokračovat v řešeních

Připraveno. Dovolte mi, abych vám připomněl, že náhrada meta má zjednodušit integrální výraz, protože vše se týkalo integrace statické funkce podle tabulky.

Tento zadek jsem nenamaloval tak pečlivě, ale bylo to provedeno metodou opakování a konsolidace materiálů pro lekci

Připraveno. Dovolte mi, abych vám připomněl, že náhrada meta má zjednodušit integrální výraz, protože vše se týkalo integrace statické funkce podle tabulky.

A teď dva pažby pro nezávislý výkon:

Zadek 12

Připraveno. Dovolte mi, abych vám připomněl, že náhrada meta má zjednodušit integrální výraz, protože vše se týkalo integrace statické funkce podle tabulky.

Najděte nehodnotový integrál.

Zadek 13

Skrytý orientační bod: je nutné rozpoznat funkci, která se obrazně zdá být v „nemanuální poloze“.

Je důležité, aby v této aplikaci studentův kosinus „trpěl“ na kroku a sinus tak seděl sám o sobě.

Udělejme tedy náhradu:

Pokud má někdo potíže s algoritmem pro nahrazení proměnné a nalezení diferenciálu, vraťte se prosím k lekci Náhradní metoda.

Zadek 15

Připraveno. Dovolte mi, abych vám připomněl, že náhrada meta má zjednodušit integrální výraz, protože vše se týkalo integrace statické funkce podle tabulky.

Pojďme analyzovat integrální funkci, co by mělo být označeno jako ?
Hádejme naše orientační body:
1) Funkce, která za vše odpovídá, náleží bannermanovi;
2) Funkce je v „nemanuální poloze“.

Než promluvíme, tyto pokyny jsou stejné jako pro goniometrické funkce.

Pokud jsou obě kritéria (zejména ostatní) splněna sinusem, je nutná výměna.

Výměnu lze v zásadě již provést, ale pro začátek by to bylo špatné, ale co s tím?

Nejprve „vybereme“ jeden kosinus:

Vyhrazujeme si náš rozdíl „možná“.

A je vyjádřen přes sinus pomocí přidání základní goniometrické identity: Nyní probíhá výměna nápravy: Platí následující pravidlo: Pokud je v integrální funkci jedna z goniometrických funkcí (sinus nebo kosinus). nespárované

fázi, pak musíte „navzorkovat“ jednu funkci z nespárované fáze a poté přiřadit jinou funkci.

Pojďme se bavit o integrálech, kosinech a sinech.

Připraveno. Dovolte mi, abych vám připomněl, že náhrada meta má zjednodušit integrální výraz, protože vše se týkalo integrace statické funkce podle tabulky.

V případě, na který jsme se podívali s nepárovým světem, jsme našli kosinus, takže jsme jeden kosinus odstranili z kroku a označili sinus.
Zadek 16

Kroky jdou do zlit =).

Toto je příklad nezávislého rozhodování. , , , Především je zde řešení a závěr lekce.

Univerzální trigonometrické substituce

Připraveno. Dovolte mi, abych vám připomněl, že náhrada meta má zjednodušit integrální výraz, protože vše se týkalo integrace statické funkce podle tabulky.

Univerzální trigonometrická substituce je nejběžnější variantou substituční metody.

Můžete zkusit stagnaci, pokud nevíte, co dělat.
Ale skutečně existují určitá vodítka pro její stagnaci.

Typické integrály, které vyžadují univerzální trigonometrickou substituci, jsou následující integrály:

atd.

Zadek 17

! Univerzální trigonometrická substituce je často realizována tímto způsobem. Nahradíme: .

Při nahrazení sinus a kosinus transformujeme na následující zlomky:
, , které jsou založeny na známých trigonometrických vzorcích: ,

Konečný design tedy může vypadat takto:

Proveďme univerzální trigonometrickou substituci:

Budou zde pokyny pro samostatný vývoj, dokud nebude možné druh přezkoumat.

Integrální výraz lze převést z tvorby goniometrických funkcí na součet

Podívejme se na integrály, ve kterých se integrální funkce skládá ze sinů a kosinů prvního stupně jako x, vynásobených různými faktory, abychom mohli integrovat tvar

Rychle jsem se naučil některé trigonometrické vzorce

(2)
(3)
(4)
je možné převést skin z výtvorů v integrálech tvaru (31) na algebraický součet a integrovat po vzorcích

(5)

(6)

zadek 1. Vědět

Rozhodnutí. Podle vzorce (2) at

zadek 2. Vědět integrál goniometrické funkce

Rozhodnutí. Podle vzorce (3) at

Zadek 3. Vědět integrál goniometrické funkce

Rozhodnutí. Podle vzorce (4) at Očekává se nástup transformace integrálního viru:

Zastosovuyu vzorec (6), vyloučen

Integrál kroků sinus a kosinus stejného argumentu

Podívejme se nyní na integrál funkce, abychom vytvořili dvě fáze sinus a kosinus stejného argumentu.

(7)

V sérii epizod, jeden z vystavovatelů ( m jinak n) lze přičíst k nule.

Při integraci takových funkcí je zřejmé, že společný stupeň kosinusu lze vyjádřit pomocí sinusu a diferenciál sinusu je roven cos. x dx(nebo shodný stupeň sinusu lze vyjádřit kosinusem a diferenciál kosinu je stejný - sin x dx ) .

Následující jsou rozděleny do dvou typů: 1) Chtěl bych jeden z ukazatelů mі n nepárový;

2) útočné zobrazení chlapi. n = 2Nenechte proběhnout první epizodu, ale samotnou show k

+ 1 – nespárováno. Todi, doktoři, co Subintegrální výraz je prezentován ve formě, že jeho část je funkcí sinu, ale místo toho je diferenciálem sinu. Nyní pro pomoc s nahrazením změny t Todi, doktoři, co= hřích m x Nyní pro pomoc s nahrazením změny Rozhodnutí je omezit integraci bohatých členů těla Nyní pro pomoc s nahrazením změny. Todi, doktoři, co Proč nemáte další kroky? Nyní pro pomoc s nahrazením změny nespárované, pak to opravit podobným způsobem, vidět multiplikační hřích , určení řešení integrální funkce přes cos a s úctou = cos . Tuto techniku ​​lze použít v Integrace privátních stupňů sinus a kosinus

, pokud mі n- chlapi, tedy vikoristické a trigonometrické vzorce

snížit ukazatele sinusových a kosinusových kroků, po kterých získáte integrál stejného typu, který je vyšší. Proto se integrace stopy řídí stejným obvodem. Pokud je jeden ze dvou indikátorů záporný, takže je považován za důležitější než ostatní kroky sinusu a kosinu, pak toto schéma není vhodné

. Vědět integrál goniometrické funkce

Poté je nutné nahradit proměnnou v úložišti, aby se transformoval integrální virus.

Todi, doktoři, co Subintegrální výraz je prezentován ve formě, že jeho část je funkcí sinu, ale místo toho je diferenciálem sinu. Nyní pro pomoc s nahrazením změny Takový útok bude zkoumán v dalším odstavci. Zadek 4. Proč nemáte další kroky? Nyní pro pomoc s nahrazením změny Rozhodnutí. Ukazatel kroku cosinus je nespárovaný. Můžeme si tedy představit

(todi

dt Vědět integrál goniometrické funkce

.

dx

). Todi, doktoři, co Subintegrální výraz je prezentován ve formě, že jeho část je funkcí sinu, ale místo toho je diferenciálem sinu. Nyní pro pomoc s nahrazením změny Takový útok bude zkoumán v dalším odstavci. Zadek 4. Proč nemáte další kroky? Nyní pro pomoc s nahrazením změny Rozhodnutí. Ukazatel kroku cosinus je nespárovaný. Můžeme si tedy představit

Todi je odnímatelný

Když se vrátíme ke staré změně, stále víme

Zadek 5.

Rozhodnutí. Indikátor úrovně cosinus, stejně jako předchozí, je nepárový, nebo dokonce větší. Vědět integrál goniometrické funkce

Uyavimo

a začneme s výměnou náhrady

Otevření chrámů Todi, doktoři, co a lze je odstranit Nyní pro pomoc s nahrazením změny Když se vrátíme ke staré změně, rozhodnutí je pryč (1/2)Zadek 4. Zadek 6. Nyní pro pomoc s nahrazením změny Rozhodnutí. Ukazatel kroku cosinus je nespárovaný. Rozhodnutí. Ukazatele stupně sinus a kosinus - chlapi.

Takže integrální funkci můžeme transformovat takto:

Tohle má být odebráno

čísla, zdá se, že úroveň integrální funkce je nižší. U jiného integrálu jej nahradíme jiným, s respektem Nyní pro pomoc s nahrazením změny = Todi, doktoři, co= hřích2 Nyní pro pomoc s nahrazením změny = Todi, doktoři, co. Nyní pro pomoc s nahrazením změny = Todi, doktoři, co Todi Nyní pro pomoc s nahrazením změny = Todi, doktoři, co .

= cos2 Vědět integrál goniometrické funkce

.

.

.

Otje, Vědět integrál goniometrické funkce

Zbytek lze odstranit

Vykoristannya metoda nahrazení změnou s integrovanými goniometrickými funkcemi je možné zmrazit ve fázích, pokud je v integrálním vyjádření pouze sinus nebo jen kosinus, nebo sinus a kosinus, buď v sinu nebo kosinu - v prvním kroku tečna nebo kotangens, stejně jako soukromé kroky sinus a kosinus jednoho a téhož argumentu. V tomto případě je možné provést nejen přeuspořádání

.

hřeším

.

(7) Vezmeme integrál, pravidlo linearity Vědět integrál goniometrické funkce

, ale i tg

ta ctg :

Zadek 8. Zadek 4. Rozhodnutí. Hledáme náhradu: , Todi.

hřeším

.

Integrální virus, který je lepší, se snadno integruje za tabulku integrálů:

Kroky jdou do zlit =).

Zadek 9. může uvíznout v klauzulích, pokud integrální virus nespadá pod klauzule popsané v předchozích odstavcích.

V zásadě, pokud sinus nebo kosinus (nebo obojí) je zlomek.

Nyní lze všechny integrální výrazy ponechat pouze otevřené a lze pokračovat v řešeních Vědět integrál goniometrické funkce

.

Bylo prokázáno, že sinus a kosinus lze nahradit jiným výrazem, aby se nahradila tangens poloviny výstupního členu dalším členem: Stojí za zmínku, že univerzální goniometrická substituce má často tendenci komplikovat transformaci algebry, a proto je pravděpodobnější, že stagnuje, pokud žádná jiná metoda nefunguje. Když se vrátíme ke staré změně, rozhodnutí je pryč
.

Podívejme se na příklady použití univerzální goniometrické substituce pro určení diferenciálního znaménka a metodu nevýznamných koeficientů.

Rozhodnutí. Rozhodnutí. Rychlý

univerzální trigonometrická substituce

Zlomky v číselníku a znakové knize se vynásobí a dva se sečtou a umístí před znak integrálu. Todi
Důkladně jsou prozkoumány aplikace řešení integrálů po částech, subintegrálu a vytvoření polynomu na exponenciále (kroky) buď sinus (sin x) nebo kosinus (cos x).
Zmist
Div. také:

Metoda částečné integrace

Tabulka nevýznamných integrálů
;
.

Metody výpočtu nehodnotných integrálů

Základní elementární funkce a jejich pravomoci
, , .

Vzorec pro integraci po částech

Při nejvyšších aplikacích této části je určen vzorec pro integraci po částech:

Použijte integrály, abyste odstranili přidání bohatého členu sin x, cos x nebo e x

Osa aplikace takových integrálů:

Pro integraci podobných integrálů se polynom označí u a část, která chybí, se označí v dx.
.

Dále nastavte vzorec pro integraci po částech.
Níže je uvedena zpráva o řešeních pro tyto aplikace..

Použijte nejvyšší integrály

Butt s exponenciálem, e ve fázi x
.
Hodnota integrálu:
.
.
.
Exponent zadáme pod diferenciální znaménko:
.

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Integrované po částech.
.

zde

Použijte nejvyšší integrály

Integrál, který je ztracen, je také integrován po částech. Zbytek je možný: Příklad hodnotového integrálu se sinem ( Vypočítejte integrál: )′ Zadejte sinus pod znaménko diferenciálu:

zde u = x 2, v =


cos (2 x + 3) , du = x 2

Exponent zadáme pod diferenciální znaménko:

dx

Integrované po částech.
.

Integrál, který je ztracen, je také integrován po částech.

Použijte nejvyšší integrály

A pak zadáme kosinus pod znaménkem diferenciálu. zde u = x, v = hřích (2x+3) , du = dx Příklad hodnotového integrálu se sinem ( Pažba tvorby bohatého termínu a kosinusu )′ Zadejte sinus pod znaménko diferenciálu:

Zadejte kosinus pod znaménko diferenciálu:

Tabulka primárních („integrálů“).
Tabulkové nehodnotové integrály.	Tabulkové nehodnotové integrály.
(Nejjednodušší integrály jsou ty integrované s parametrem).
	Integrál statické funkce.
Integrál je redukován na integrál statické funkce, aby se dostal pod diferenciální znaménko.	Integrály exponenciálního, de a-stacionárního čísla.
Integrál složené exponenciální funkce.	Integrál exponenciální funkce.
	Integrál exponenciální funkce.
Integrál, který je starší než přirozený logaritmus.	Integrál: "Dlouhý logaritmus".
Integrál, který je starší než přirozený logaritmus.
Integrál: "Vysoký logaritmus".	Integrál, kde je x umístěno pod diferenciálním symbolem (konstantu pod znaménkem lze buď přidat nebo odebrat), je ve výsledku podobný integrálu, který se rovná přirozenému logaritmu.
Integrál kosinusu.	Integrální k sinusu.
Integrál, který je podobný tečně.
Integrál rovný kotangens.	Integrál rovný arcsinusu i arckosinu
Integrál rovný arcsinusu a arckosinu.	Integrál rovný arkustangenu i arkustangensu.
Integrál je stejný jako kosekans.	Integrál, který je starší než sekanta.
Integrál je stejný jako kosekans.	Integrál je stejný jako kosekans.
Integrální, rovná arcsekáns.	Integrál rovný arkosekantu.
Integrál, který je podobný hyperbolickému sinusu.	Integrál je podobný hyperbolickému kosinusu.
Integrál rovný hyperbolickému sinu, de sinhx – hyperbolický sinus v anglické verzi.	Integrál rovný hyperbolickému kosinusu, de sinhx – hyperbolický sinus v anglické verzi.
Integrál, který je podobný hyperbolické tečně.	Integrál, který je podobný hyperbolickému kotangensu.

Integrál, který je starší než hyperbolická sečna.

Integrál, který je podobný hyperbolickému kosekansu.
Vzorce pro integraci po částech.
Integrační pravidla.
Vzorce pro integraci po částech.
Metoda částečné integrace Newtonův-Leibnizův vzorec. Integrační pravidla.
Integrace tvorby (funkcí) trvale: Newtonův-Leibnizův vzorec. Integrační pravidla.	Integrace funkcí:

neocenitelné integrály:

integrované skladby:

Newtonův-Leibnizův vzorec
	Kde F(a), F(b) jsou primární hodnoty v bodech b a a, samozřejmě.
	Tabulka obětí.
Tabulkové pochody.	Pokhіdna robot.
Je to soukromé.	Funkce snadného skládání.
	Pokud je x nezávislé, pak:
Tabulka obětí.	Tabulkové pochody. "Cestovní stůl" - tak je bohužel hledají na internetu
Podobně jako u statické funkce	Pokhіdna exponenciální
Podobně jako u skládací exponenciální funkce	Exponenciální funkce
Podobně jako u skládací exponenciální funkce	Exponenciální funkce
Podobná logaritmická funkce	Pokhіdna přirozený logaritmus
Podobně jako u přirozeného logaritmu funkce	Pokhіdna sinus
Podobně jako u přirozeného logaritmu funkce	Pokhіdna sinus
Variace kosinusu	Pokhіdna kosekant
Variace kosinusu	Pokhіdna kosekant
Léčba hyperbolického sinusu Postup pro hyperbolický sinus v anglické verzi	Výpočet hyperbolického kosinusu Podobně jako hyperbolický kosinus v anglické verzi
Podobné jako hyperbolická tečna	Podobné jako hyperbolický kotangens
Podobně jako u hyperbolického sexismu	Podobné jako hyperbolický kosekant

Pravidla diferenciace.
Pokhіdna robot.
Je to soukromé.
Funkce snadného skládání.
Robot (funkce) jsou podobné:
Pokhіdna sumi (funkce):

Operativní práce (funkce):

Zásady ochrany osobních údajů (funkce):
Podobné skládací funkce:
Síla logaritmů.

Základní vzorce pro logaritmy.

Desítky (lg) a přirozené logaritmy (ln).

Základní logaritmická identita Ukažme si, jak lze funkci tvaru a b udělat exponenciální. Protože se funkce nazývá exponenciální, pak

Zda lze funkci tvaru a b znázornit ve tvaru desíti Přirozený logaritmus ln (logaritmus založený na e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylorova řada.

1) Dekomponované funkce Taylorovy řady.

2)

Zdá se, že většina

3) prakticky blízko Matematické funkce mohou být reprezentovány s libovolnou přesností na vnější straně daného bodu ve formě statických řad, takže proměnlivé kroky jsou umístěny v rostoucím pořadí.

Například na okraji bodu x=1:

Když se vikoristán řadí, řadí

Taylorovy řady,

Smíšené funkce, které zahrnují řekněme algebraické, goniometrické a exponenciální funkce, lze vyjádřit ve formě čistě algebraických funkcí.

Pomocí doplňkových sérií lze často rychle dosáhnout diferenciace a integrace.

Taylorovu sérii na okraji bodu a lze vidět:

, De f (x) je funkce, která pracuje při x = a všech řádů.

Existují nekonečně diferencované funkce, jejichž Taylorova řada konverguje a zároveň se rozděluje na funkce v libovolné oblasti.

Například:

Taylorovy řady stagnují při aproximaci funkce bohatých členů (aproximace je vědecká metoda, která zahrnuje nahrazení jednoho objektu jiným, který se v jiném smyslu blíží výstupu, ale je jednodušší).

Zokrema, linearizace ((in linearis - lineární), jedna z metod pro blízkou detekci uzavřených nelineárních systémů, ve které je zkoumání nelineárního systému nahrazeno analýzou lineárního systému, ve zpěvu Valentův výstup.) Úroveň je určena způsobem řazení do Taylorovy řady a seřazením všech členů nad prvním v pořadí.

Tímto způsobem lze prakticky jakoukoli funkci reprezentovat jako polynom s danou přesností.

Aplikujte některá širší rozdělení statických funkcí v Maclaurinově řadě (=McLaren, Taylor na okraji bodu 0) a Taylor na okraji bodu 1. První členové rozdělení základních funkcí v Taylorově a McLarenově řadě.